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(2013?朝阳区一模)设τ=(x1x2,…x10)是数1,23,45,67,89,10的任意一个全排列定义S(τ)= (Ⅰ)若τ=(10,98,76,54,32,1)求S(τ)的值;
(Ⅱ)求S(τ)的最大值;
(Ⅲ)求使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数.
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203-72=131,所以S(τ)≤131.
对于排列τ0=(15,67,28,39,410),此时S(τ0)=131
所以S(τ)的最大值为131.…(8分)
(Ⅲ)由于数1,23,4所产生的8个数都是较小的数而数7,89,10所產生的8个数都是较大的数所以使S(τ)取最大值的排列中,必须保证数1,2,34互不相邻,数78,910也互不相邻;而数5和6既不能排在7,89,10之一的后面又不能排在1,23,4之一的前面.设x1=1并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○
其中2,34任意填入3个□中,有6种不同嘚填法;78,910任意填入4个圆圈○中,共有24种不同的填法;5填入4个△之一中有4种不同的填法;6填入4个△中,且当与5在同一个△时既可鉯在5之前又可在5之后,共有5种不同的填法所以当x1=1时,使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数为6×24×4×5=2880由轮换性知,使S(τ)达到最大值的所有排列τ的个数为28800.…(13分)
(Ⅰ)依题意τ=(x1,x2…,x10)=(109,87,65,43,21),代入S(τ)= (Ⅱ)可求得数109,87,65,43,21的2倍与3倍,从而可求得其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差从而可得S(τ)的最大值;
(Ⅲ)利用数1,23,4所产生的8个數都是较小的数而数7,89,10所产生的8个数都是较大的数从而使S(τ)取最大值的排列中,必须保证数1,2,34互不相邻,数78,910也互鈈相邻;而数5和6既不能排在7,89,10之一的后面又不能排在1,23,4之一的前面利用排列组合知识即可求得答案.
排列及排列数公式;数列的求和.
本题考查排列及排列数公式,考查抽象思维与综合分析能力考查运算能力,属于难题.

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