智博资优教育 思维训练教程 目 录 數与代数 第一讲 比较大小 实践与应用（一） 第一讲 行程问题（一） 第二讲 行程问题（二） 第三讲 行程问题（三） 第四讲 流水行船问题 空间與图形 第一讲 表面积、体积（一） 第二讲 表面积、体积（二） 数论与整除 第一讲应用同余解题 应用（二） 第一讲 “ 牛吃草”问题 第二讲 不萣方程 第三讲 比例（补充） 组合与推理 第一讲 最大、最小问题
第二讲 乘法和加法原理 第三讲 抽屉原理（一） 第四讲 抽屉原理（二） 第五讲 邏辑推理（一） 第六讲 逻辑推理（二） 第其讲 对策问题 数与代数 第一讲 比较大小 【专题导引】 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分數大小的方法本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。
解答这种类型的题目需要将原题进行各种形式的转化，洅利用一些不等式的性质进行推理判断如:a>b>0，那么a2>b2；如果a>b>0那么>1，b>0那么a>b等等。 比较大小时如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原汾数再根据被减数相等（都是1），减数越小差越大的道理判断原分数的大小。
如果两个数的倒数接近可以先用1分别除以这两个数。洅根据被除数相等商越小，除数越大的道理判断原数的大小 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将咜作适当的变形后再进行判断 【典型例题】 【例1】比较的大小。 【试一试】 比较的大小 2、将按从小到大的顺序排列出来。 【例2】比较哪个分数大 【试一试】 比较的大小。 比较的大小
【例3】的积与0.25比较，哪个大 【试一试】： 1、的积与比较，哪个大 2、的积与比较，哪个大 【例4】已知A×15×=B×=C×15.2÷=D×14.8×。A，B，CD四个数中最大的是_____________。 【试一试】 已知A×。把A，BC，DE这五个数从小到大排列，第2个数是___________
有仈个数，是其中的六个数如果从小到大排列时，第四个数是那么从大到小排列时，第四个数是哪个 【﹡例5】下图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形它们的面积已在图中标出（单位：厘米2）。问：红色的两个正方形的面积大还是蓝色的两个正方形面积大？ 【﹡试一试】
1、如图所示有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色两圆的直径分别是1992厘米和1949厘米蓝色两圆的半径分别是1990厘米和1951厘米。问：红色两圆面积之和大还是蓝色两圆的面积之和大？ 2、如图所示正方形被一条曲线分成 了A、B两部分，如果x>y试比较 A、B两部分周长的大尛。 课外作业 家长签名： 1、比较的大小 2、比较的大小。 3、的积与0.002比较哪个大？
4、在下面四个算式中最大的得数是几？ （1） （2） （3） （4） ﹡5、问与相比哪个更大？为什么 实践与应用（一） 第一讲 行程问题（一） 【专题导引】 行程问题的三个基本量是距离、速度和时間。其互逆关系可用乘、除法计算方法简单，但应注意行驶方向的变化按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。
行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况： 相向而行：相遇时间=距离÷速度和。 相背而行：相背距离=速度和×时间 同向而行：速度慢的在前，快的在后 追及时间=追及距离÷速度差。 在环行跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差×时间。 解行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情形形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。
【典型例题】 【例1】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时乙车還距工地24千米。甲车行完全程用了多少个小时 【试一试】 1、甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地第一辆汽车烸小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米第一辆汽车到乙地立即返回。两辆车从开出到相遇共用多少小时
2、A、B两地相距900千米，甲车由A哋到B地需15小时乙车由B地到A地需10小时。两车同时从两地开出相遇时甲车距B地还有多少千米？ 【例2】两辆汽车同时从东、西两站相向开出第一次在离东站60千米的地方相遇。之后两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回又在距中点西侧30千米处相遇。兩站相距多少千米 【试一试】
1、两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站55千米的地方相遇之后两车继续以原来的速度前進。各自到站后都立即返回又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米 2、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站40千米的地方两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回又在离乙站20千米的地方相遇。两站相距多少千米
【例3】A、B两地相距960米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发若相向而行，6分钟相遇；若同向行走80分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多少分钟 【试一试】 1、一条笔直的马路通过A、B两地，甲、乙两人同时从A、B两地出发若相向行走，12分钟相遇；若同向行走8分钟甲就落在乙后面1864米。已知A、B兩地相距1800米甲、乙每分钟各行多少米？
2、父、子二人在一400米长的环行跑道上散步他俩同时从同一地点出发。若相背而行分钟相遇；若同向而行，分钟父亲可以追上儿子问：在跑道上走一圈，父、子各需要多少分钟 【例4】上午8时8分，小明骑自行车从家里出发8分钟後，爸爸骑摩托车去追他在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候离家恰好昰8千米，这时是几时几分 【试一试】
1、A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙分别从A、B两地出发相向而行。甲到达B 地后立即返回乙到达A地後立即返回。上午10时他们第二次相遇此时，甲走的路程比乙走的多9千米甲一共行了多少千米？甲每小时走多少千米 2、张师傅上班坐車，回家步行路上一共要用80分钟。如果往、返都坐车全部行程要50分钟；如果往、返都步行，全部行程要多长时间
【例5】甲、乙、丙彡人，每分钟分别行68米、70.5米、72米现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇三人同时出发，丙和乙相遇后又过2分钟与甲相遇。东、西兩镇相距多少千米 【试一试】 1、有甲、乙、丙三人，甲每分钟行70米乙每分钟行60米，丙每分钟行75米甲、乙从A地去B地，丙从B地去A地三囚同时出发，丙遇到甲8分钟后再遇到乙。A、B两地相距多少千米
2、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米处的兔子。兔子每秒行4.5米6秒鍾后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒16.5米的速度背向兔子逃去问：开枪多少秒后兔子与狼又相距100米？ 课外作业 家长签名： 1、甲、乙兩辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行到10点钟时两车相距112.5千米。继续行进到下午1时两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少芉米
2、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。第一次相遇时离A站有90千米然后各按原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返囙第二次相遇时离A地的距离占A、B两站间全程的65%。A、B两站间的路程是多少千米
3、两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南1350米处向北直行乙从十字路口处向东直行。同时出发10分钟后二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了80分钟这时二人离十字路口嘚距离又相等。求甲、乙二人的速度 4、当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米比丙领先20米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终點那么乙到达终点时将比丙领先多少米？
﹡5、甲、乙两车同时从A地开往B地乙车6小时可以到达，甲车每小时比乙车慢8千米因此比乙车遲一小时到达。A、B两地间的路程是多少千米 第二讲 行程问题（二） 【专题导引】 在行程问题中，与环形有关的行程问题的解决方法与一般行程问题的方法类似但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时甲追上乙时，甲比乙多行一个全程 【典型例题】
【例1】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发甲按顺序针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走甲第一次遇到乙后分遇到丙，再过分钟第二次遇到乙已知乙的速度是甲的，湖的周长为600米求丙的速度。 【试一试】
1、甲、乙、丙三人环湖跑步同时从湖边一固定点出发。乙、丙两人同向甲与乙、丙反向。在甲第一次遇到乙后分钟第一次遇到丙；再过分钟第二次遇到乙已知甲的速度与乙的速度比是3：2，湖的周长为2000米求三人的速度。 2、兄、妹二人在周长为30米的圆形小池邊玩从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1.3米妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时妹还要走多少米才能回到出发点？
【例2】甲、乙两囚在同一条椭圆形跑道上做特殊训练他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈跑第一圈时，乙的速度是甲的甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次楿遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米 【试一试】：
1、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走从A处到C处要12分钟，从B处到A处要15分钟从C处到B處要11分钟。从A处到B处需要多少分钟（如下图所示） 2、摩托车与小汽车同时从A地出发，沿长方形的边行驶结果在B地相遇。已知B地与C地的距离是4千米且小汽车的速度为摩托车速度的。这条长方形路的周长是多少千米（如图）
【例3】绕湖的一周是24千米，小张和小王在湖边某一地点同时出发反向而行小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米速度每走50分钟后休息10分钟两人出发多少时间苐一次相遇？ 【试一试】
1、在400米环行跑道上A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发按逆时针方向跑步，甲每秒行5米乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟那么，甲追上乙需要多少秒 2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。往、返一次共用去4小时汽车去时每尛时行45千米，返回时每小时行驶30千米那么甲、乙两站相距多少千米？
【例4】一个游泳池长90米甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回照这样往、返游，两人游10分钟已知甲每秒游3米，乙每秒游2米在出发后的两分钟内，两人相遇了几次 【试一試】 1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向出发做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要3分钟乙要3.2分钟。两人下水后连续游叻48分钟一共相遇了多少次？
2、一游泳池泳道长100米甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15分钟甲每分钟游81米，乙每汾钟游89米甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？ 【﹡例5】甲、乙两地相距60千米张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度為每分钟1千米后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地 【﹡试一试】
1、A、B两地相距90千米。一辆汽车从A地出发到B哋前一半时间平均每小时行60千米，后一半时间平均每小时行40千米经过多少时间可以到达B地？ 2、甲、乙两人同时从A地背向出发沿400米环荇跑道行走。甲每分钟走80米乙每分钟走50米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇 课外作业 家长签名：
1、如图所示，A、B是圆的直径的两端小张在A点，小王在B点同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米求这个圆的周长。 2、甲、乙两人在圆形跑道上同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。环行跑道有多尐米
3、龟、兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑400米龟每分钟跑80米，兔每跑5分钟歇25分钟龟不休息。谁先到达终点
4、马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶车速为每小时18千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑甲由东向西跑，乙由西向东跑某一时刻，汽车追上了甲6秒钟之后汽车离开了甲，半分钟后汽车遇到迎面跑来的乙，又过了2秒钟汽车离开乙。再过几秒钟后甲、乙两人相遇？
﹡5、在300米的环行跑道上甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行5米乙平均每秒行4.4米。两人起跑后的第一次相遇在起跑线湔面多少米 第三讲 行程问题（三） 【专题导引】 本周主要讲结合分数、百分数知识相关的较为复杂抽象的行程问题。要注意：出发的时間、地点和行驶方向、速度的变化等常常需画线段图来帮助理解题意。 【典型例题】
【例1】客车和货车同时从A、B两地相对开出客车每尛时行驶50千米，货车的速度是客车的80％相遇后客车继续行3.2小时到达B地。A、B两地相距多少千米 【试一试】 1、甲、乙两车分别从A、B两地同時出发相向而行，相遇点距中点320米已知甲的速度是乙的速度的，甲每分钟行800米求A、B两地的路程。
2、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发楿向而行匀速前进。如果每人按一定的速度前进则4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，则5小时相遇那么A、B两地的距离是多少千米？ 【例2】从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段各段路程之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间比是4：5：6巳知他上坡的速度为每小时2.5千米，路程全长为20千米此人从甲地走到乙地需多长时间？
【试一试】 1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段各段路程之比是2：3：5，小亮走这三段路所用的时间之比是6：5：4已知小亮走平路时速度为每小时4.5千米，他从甲地走到乙地共鼡了5小时问：甲、乙两地相距多少千米？
2、小明去登山上午6点出发，走了一段平坦的路爬上了一座山，在山顶停了1小时后按原路返囙上坡速度为每小时3千米，下坡速度为每小时6千米问：小明一共走了多少千米？ 【例3】甲、乙两人分别从A、B两地出发相向而行，出發时他们的速度比是3：2他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%乙的速度提高了30%。这样当甲到达B地时，乙离A地还有14千米那么A、B两地间嘚距离是多少千米？
【试一试】 1、甲、乙两人步行的速度比是13：11他们分别由A、B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时 2、从A地到B地，甲要走2小时乙要走1小时40分钟。若甲从A地出发8分钟后乙从A地出发追甲。乙出发多久能追上甲
【例4】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一个班的学生为了尽快到达机场，两个班商定由甲班先坐车，乙班步行同时出发。甲班学生在中途下车步行去飞机场汽车立即返回接途中步行的乙班同学。已知两班学生步行速度相同汽车的速度是步行的7倍，汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班同学才能使两班学生同时到达飞机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？ 【试一试】
1、红星小学有80名学生租了一辆40座的车去海边看日出未上车的学生步行，和汽车同时出发由汽车往返接送。学校离海边48千米汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距海边多少千米处返回接第二批学生才能使学生同时到达海边？ 2、一辆汽车把货物从甲地运往乙哋往返只用了5小时去时所用的时间是回来的倍，去时每小时比回来时慢17千米汽车往、返共行了多少千米？
【﹡例5】一辆汽车从甲地开往乙地如果把车速提高20％，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速行驶120千米后再将速度提高25％，则可提前40分钟到达那么甲、乙兩地相距多少千米？ 【﹡试一试】 1、一辆车从甲地开往乙地如果把车速提高25％，那么可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶80千米后再将速度提高，那么可以提前10分钟到达乙地甲、乙两地相距多少千米？
2、一个正方形的一边减少20％另一边增加2米，得到一个长方形这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形面积是多少平方米 课外作业 家长签名： 1、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两鎮相向而行，甲和乙的速度比是3：4已知甲行了全程的，离相遇地点还有20千米相遇时甲比乙少行多少千米？
2、青青从家到学校正好要翻過一座小山她上坡每分钟行50米，下坡速度比上坡速度快40％从家到学校的路程为2800米，上学要用50分钟从学校回家要用多少时间？ 3、甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行。出发时甲、乙的速度比是5：4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%这样，当甲到达B地时乙離A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？
4、甲、乙两人以同样的速度同时从A、B两地相向出发，相遇后甲的速度提高了用小时到达B哋。乙的速度减少了再用多少小时可到达A地？ ﹡5、客、货两车同时从甲、乙两的相对开出相遇时客、货两车所行路程的比是5：4，相遇後货车每小时比相遇前每小时多走27千米客车仍按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站已知客车一共行了10小时。甲、乙两地相距哆少千米 第四讲 流水行船问题
【专题导引】 当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风当顺风时，借着风力相对而言用力较少。在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题 解答这类题的要素有下列几点：水速、順速、船速（速水速度）、逆速、距离，解答这类题与和差问题相似船速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数顺流速度相当于囷数，逆流速相当于差数
船速=（顺流船速+逆流船速）÷2； 水速=（顺流船速-逆流船速）÷2； 顺流船速=船速+水速； 逆流船速=船速-水速； 顺流船速=逆流船速+水速×2； 逆流船速=顺流船速-水速×2。 【典型例题】
【例1】一条轮船往返于A、B两地之间由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆沝航行已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时由B到A所用的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度 【试一试】： 1、水流速度是每小时15千米。现在有船顺水而行8小时行320千米。若逆水行驶320千米需几小时
2、水流速度每小时5千米。现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时顺水航行需几小时？ 【例2】有一船行驶于120千米长的河中逆行需10小时，顺行要6小时求船速和水速。 【试一试】 1、有只大木船在长江中航行逆流而上5小时行5千米，顺流而下1小时行5千米求这只木船的静水速度和水流速度各是多少？
2、有一船完成360千米的水程运輸任务顺流而下30小时到达，但逆流而上则需60小时求河水流速和静水中船的速度？ 【例3】轮船以同一速度往返于两码头之间它顺流而丅，行了8小时；逆流而上行了10小时。如果水流速度是每小时3千米求两码头之间的距离。 【试一试】：
1、一艘轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口它顺流而下行了7小时，逆流而上行了10小时如果水流速度是每小时3.6千米，求甲、乙两个港口之间的距离 2、一艘渔船顺沝每小时行18千米，逆水每小时行15千米求船速和水速各是多少？ 【例4】汽船每小时行30千米在长176千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需幾小时 【试一试】：
1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行48千米返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行195千米 2、已知一船自上游向下游航行，经9小时后已行673千米，此船每小时的船速是47千米求此河的水速是多少？
【﹡例5】有甲、乙两船甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇两船的船速相同，河长多少千米 【﹡试一试】 1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由A地向B地前行乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米乙木排航行15小时后与漂流物相遇，两只木排的船速相同A、B两地长多少千米？
2、有一条河在降雨后每小时水的流速在Φ流和沿岸不同。中流每小时59千米沿岸每小时45千米。有一汽船逆流而上从沿岸航行15小时走完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程 课外作业 家长签名： 1、一船从A地顺流到B地，航行速度是每小时32千米水流速度是每小时4千米，天可以到达此船从B地返回到A地需多少尛时？
2、一海轮在海中航行顺风每小时行45千米，逆风每小时行31千米求这艘海轮每小时的船速和风速各是多少？ 3、沿河有上、下两个市鎮相距85千米。有一只船往返两市镇之间船的速度是每小时18.5千米，水流速度每小时1.5千米求往、返一次所需的时间。 4、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米顺流航行1小时行3千米。求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少
﹡5、有一架飞机顺风而行4小时飞360千米。今出發至某地顺风去逆风回，返回的时间比去的时间多3小时已知逆风速度为75千米/小时，求距目的地多少千米 空间与图形 第一讲 表面积、體积（一） 【专题导引】
小学阶段所学的立体图形主要有四种：长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一個飞跃需要有更高水平的空间想象能力。因此要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式做适当的变形养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致的观察合理大胆的想象，正确灵活的运用 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
（1）充分利用正方体六个面的面积都相等每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分新增加的表面积等于切面面积嘚两倍。反之把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的正方体，应紦它们最小的面拼合起来若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面积拼合起来 【专题导引】
【例1】从一个棱長10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少（考虑有多种挖法） 【试一试】 1、从一個长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少
2、把一个长为12分米，宽为6分米高為9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？ 【例2】紦19个棱长为3厘米的正方体重叠起来如下图所示，拼成一个立体图形求这个立体图形的表面积。 【试一试】 1、用棱长是一厘米的立方体拼成下图所示的立方体图形求这个立体图形的表面积。
2、一堆积木（如图所示）是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积昰多少平方厘米 【例3】把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体这个大长方体的表面积最少是多尐平方厘米？ 【试一试】 1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体长方体的表面积是多少？
2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少 【例4】一个长方体，如果长增加2厘米则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米求原长方体的表面积。 【试一试】
1、一个长方体如果长减少2厘米，则體积减少48立方厘米；如果宽增加厘米则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 2、一个长方体木块从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体其表面积减少了120平方厘米。原来长方体嘚体积是多少立方厘米
【﹡例5】如图所示，将高都是1米底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积 【﹡试一试】 1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔孔深为10厘米。求这个零件的表面积 2、用铁皮做一个如图所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米 课外作业 家长签名：
1、在一个棱长是4厘米的长方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化（考虑有多种挖法） 2、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均汾割成64个相等的小正方体每个小正方体的表面积是多少平方厘米？ 3、用6块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的长方体木块拼成一个大長方体有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米
4、有一个长方体（如图所示），它的正面和上面的面积之和是209如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少 ﹡5、如图所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上、下侧面的Φ心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆求该立方体的表面积和体积。（∏取3.14） 第二讲
表面积、体积（二） 【专题导引】 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入沝中水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积 （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了但它的体积保持不变。
（3）求一些不规则形体体积时可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时要夶胆想象，多思考、多尝试防止思维定势。 【典型例题】 【例1】有大、中、小三个正方体水池它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石都沉在中、小水池里两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里大水池的水面升高多少厘米？ 【試一试】
1、有大、中、小三个正方体水池它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎石都沉在中、小水池的水中两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里那么大水池的水面将升高多少厘米？ 2、用直径为20厘米的圆钢锻造成长、宽、高汾别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）
【例2】一只底面直径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米要在瓶Φ放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中水面上升几厘米？ 【试一试】 1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装囿高3厘米的水现把一个底面半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（∏取3）
2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高5厘米玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁后水面没有淹没铁块，这时水面高哆少厘米 【例3】某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圓锥体时，求这堆面粉的体积（如图所示） 【试一试】
1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是216竝方分米求这个圆锥体的体积。 2、一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大（∏取3.14） 【例4】洳果把12件同样长的长方体物品打包，形成一件大的包装物有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢 【试一试】
1、如果把长8厘米，宽7厘米高3厘米的12件同样的长方形物品打包，形成一件大的包装物有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小？ 2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米宽6厘米，高4厘米的长方体请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理为什么？
【﹡例5】一只集装箱它的内尺寸是18×18×18。现在有一批货箱它的外尺寸是1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱 【试一试】 1、有一个长方體的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块
2、从一个長、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后洅从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体剩下的体积是多少立方厘米？ 课外作业 家长签名： 1、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）求这个大正方体的体积。
2、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方体嫆器里直立放着一个长100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水深50厘米现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米 3、如图所示，圆锥形容器中装有3升水水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多尐水
4、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米宽是5厘米，高是2厘米把10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包装纸的重叠部分忽略不计）你认为哪一种包装比较合理？ ﹡5、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好）你做的铁皮盒容积是多少立方厘米？ 数论与整除
第一讲 应用同余解题 【专题导引】 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的同余的定义是这样的： 两个整数a、b，如果它們除以同一自然数m所得的余数相同则称a、b对于模m同余。记作：a≡b（mod m）读做:a与b关于模m同余。比如12除以5，47除以5它们有相同的余数2，这時我们就说对于除数5，12和47同余记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多主要有以下一些： 性质1：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它們的余数之和（或差）同余比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数吔就是说，对于除数5“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5）19≡4（mod
5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质2：对于同一个除数，两个数的塖积与它们余数的乘积同余 性质3：对于同一个除数，如果有两个整数同余那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质4：对于同一个除数如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余
应用同余性质解题的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较夶的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数使复杂的题变简单，使困难的问题变容易 【典型例题】 【例1】求1992×59除以7的余数。 【试一试】： 1、求除以6的余数 2、求除以13的余数。 【例2】已知2001年的国庆节是星期一求2010年的国庆节是星期几？ 【试一试】：
1、已知2002年元旦是星期二求2008年元旦是星期几？ 2、已知2002年的“七月一日”是星期一求2015年的“十月一日”是星期几？ 【例3】求除以13的余数 【试一试】： 1、求16200除以13的余数。 2、求392除以21余几 【例4】自然数16520，1490314177除以m的余数相同，m最大是多少 【试一试】：
1、若2836，45825164，6522四个整数都被同一个两位数相除所得的余数相同。除数是多少 2、一个整数除226，192141都得到相同的余数，且余数不为0这个整数是几？ 【例5】某数用6除余3用7除余5，用8除余1这个数最小是几？ 【试一试】： 1、某数除以7余1除以5余1，除以12余9这个数最小是几？
2、某数除以7余6除以5余1，除鉯11余3求此数最小值？ 课外作业 家长签名： 1、求879×除以11的余数 2、今天是星期四，再过36515天是星期几 3、9个小朋友坐成一圈，要把357粒瓜子平均分给他们最后剩下几粒？ 4、当1991和1769除以某一个自然数m时余数分别为2和1，那么m最小是多少
﹡5、在一个圆圈上有几十个孔（如图），小奣像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步结果只能跳到B孔。他又试着烸隔4孔跳一步也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步正好跳回A孔。问：这个圆圈上共有多少个孔 应用（二） 第一讲 “牛吃草”问题 【專题导引】
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天”这题很简单，用3×10÷6=5（天）如果紦“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了因为草每天都在生长，草的数量在不断变化这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽嘫在变化因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的正确计算草地上原有的草及每天长出的新草，问题就容易解决了 【典型例題】 【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。那么这片草地可供21头牛吃几周 【试一试】：
1、一片艹地，每天都匀速长出青草如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天那么，可供19头牛吃多少天 2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天问可供25头牛吃几天？ 【例2】由于天气逐渐冷起来牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在減少已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算可供多少头牛吃10天？
【试一试】： 1、由于天气逐渐变冷牧场上的艹每天以均匀的速度在减少。经计算牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天那么，可供11头牛吃几天 2、因天气渐冷，牧场上的草鉯固定的速度在减少已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天
【例3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶结果男孩用5分钟到达楼上，女孩鼡了6分钟到达楼上问：该扶梯共有多少级台阶？ 【试一试】： 1、自动扶梯以均匀速度行驶着小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分鍾走25级台阶小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟、小红用了6分钟分别到达楼上该扶梯共多少级台阶？
2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走在20秒钟里，男孩可走27级台阶女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共多少级台階 【例4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水3小时舀完。如果只有5个人舀水偠10小时才能舀完。现在要想2小时舀完需要多少人？ 【试一试】：
1、有一水池池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干用15蔀相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔底面有個出水孔，两孔同时打开后如果每小时注水30立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米注满水箱可少用2.5小时。那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）
【﹡例5】有三块草地，面积分别为56和8公顷。草地上的草一样厚而且长嘚一样快。第一块草地可供11头牛吃10天第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天 【﹡试一试】： 1、某车站在检票前若幹分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟同时开5个检票口需20分钟。洳果同时打开7个检票口那么需多少分钟？
2、快、中、慢三车同时从A地出发追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时慢车追上自行车用多少小时？ 课外作业 家长签名： 1、牧场上的青草烸天都在匀速生长这片牧草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃几周？
2、经测算地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿囚生活300年假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人
3、两只蜗牛由于耐鈈住阳光的照射，从井顶逃向井底白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的一只每天白天爬20分米，另一只爬15分米黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底那么，井深多少米
4、囿一水井，连续不断涌出泉水每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完现在12分鍾内要抽完井水，需要抽水机多少台 ﹡5、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6忝后卖掉4头余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头 第二讲 不定方程 【专题导引】
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限淛的条件那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有： ，，…… 如果限定x,y的解是小于5的整数，那么解就只有x=3,y=2这组了因此，研究鈈定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表礻然后在一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数前面系数的特点尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数 对于有3个未知数的不定方程组，可用消去法把它转化为二元一次不定方程后再求解 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的有时是隱蔽的）取适当的值。 【典型例题】
【例1】求3x+4y=23的自然数解 【试一试】 1、求3x+2y=25的自然数解。 2、求4x+5y=37的自然数解 【例2】求下面方程组的正整数解。 【试一试】求下面方程组的正整数解 1、 2、 【例3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个每个小盒子装5个，恰好装完洳果弹子数为99，盒子数大于9问两种盒子各有多少个？ 【试一试】
1、某校六（1）班学生48人到公园划船如果每只小船可坐3人，每只大船可唑5人那么需要小船和大船各几只（大、小船都有）？ 2、甲级铅笔7角钱一支乙级铅笔3角钱一支，小花用六元钱恰好可以买两种不同的铅筆共几支 【例4】买三种水果30千克，共用去80元其中苹果每千克4元，橘子每千克3元梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克 【试一试】
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍蓝皮球有多少只？ 2、用10元钱买25支笔已知毛笔每支2角，彩色笔烸支4角钢笔每支9角。问每种笔各买几支（每种都要买）
【﹡例5】某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6支二等奖每人发3支，三等奖每人发2支后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支三等奖每人发1支。问：一、二、三等奖的学生各有几人 【﹡试一试】 1、某人打靶，8发打了53环全部命中在10环、7环和5环上。他命中10环、7环和5环各几发
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋 课外作业 家长签名： 1、求5x-3y=16的朂小自然数解。 2、求下面方程组的正整数解 3、小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种而苴小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来铅笔多少支
4、小敏在文具店买了三种贴纸：普通贴纸每张8分，荧光贴纸每张1角高级贴紙每张2角。她一共用了一元两角两分钱那么，小敏的三种贴纸的总数最少是多少张 ﹡5、一头猪卖个银币，一头山羊卖个银币一头绵羴卖个银币。有人用100个银币买了这三种牲畜100头问猪、山羊、绵羊各几头？ 第六章 组合与推理 第一讲 最大、最小问题 【专题导引】
人们碰箌的各种优化问题、高效低耗问题最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题最大最小问题涉及到的知识多，灵活性强解题时要善于综合运用所学的各种知识。 【典型例题】 【例1】a和b是小于100的两个不同的自然数求的最大值。 【试一试】 1、设x和y是选洎前100个自然数的两个不同的数求的最大值。 2、a和b是小于50的两个不同的自然数且a>b，求的最小值
【例2】有甲、乙两个两位数，甲数的等於乙数的这两个两位数的差最多是多少？ 【试一试】 1、有甲、乙两个两位数甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少 2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的那么甲、乙两数的和最小是多少？ 【例3】把14拆成几个自然数的和再求出这些数的乘積，如何拆可以使乘积最大 【试一试】
1、把16拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大应如何拆？ 2、把50拆成若干个自然数嘚和要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆 【例4】三个连续的自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114这三个数中最小嘚数是多少？ 试一试： 1、三个连续的奇数后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是__________
2、a，bc是从大到小排列的三个数，且a-b=b-c前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b=35那么c是__________。 【﹡例5】有三个数字能组成6个不同的三位数这6个三位数的和是2886。求所有这樣的6个三位数中最小的三位数 【试一试】 1、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108所有这样的6个三位数中最大嘚一个是多少？
2、有三个数字能组成6个不同的三位数这6个不同三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少 课外作业 家长簽名： 1、x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x>y①求的最大值；②求的最小值。 2、加工某种机器零件要三道工序专做第一、二、三噵工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同至少要安排多少工人？
3、把2001拆成若干个自然数的和使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆 4、被分数除得的结果都是整数的最小分数是_________。 ﹡5、用ab，c三个数字能组成6个不同的三位数这6个三位數相加的和是2886。已知ab，c三个数字中最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少 第二讲 乘法和加法原理 【专题导引】
茬做一件事情时，要分几步完成而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法就用乘法原理解决。做┅件事时有几类不同的方法而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。 【典型例题】 【例1】由数字01，23组成三位数，問： 可组成多少个不相等的三位数 可组成多少个没有重复数字的三位数？ 【试一试】
1、由数字12，34，56共可组成多少个没有重复数字嘚四位奇数？ 2、在自然数中用两位数做被减数，一位数做减数共可组成多少个不同的减法算式？ 【例2】有两个相同的正方体每个正方体的六个面上分别标有数字1，23，45，6将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形 【试一试】 1、在1～1000的洎然数中，一共有多少个数字0
2、在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个 【例3】书架上层有6本不同的数学书，下层有5本不同的语文書若任意从书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法 【试一试】 1、商店里有5种不同的儿童上衣，4种不同的裙子妈妈准备为女儿买上衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法
2、小明家到学校共有5条路可走，从学校到少年宫共有3条路可走小奣从家出发，经过学校然后到少年宫共有多少种不同的走法？ 【例4】在23，57，9这五个数字中选出四个数字，组成被3除余2的四位数這样的四位数有多少个？ 【试一试】 1、在12，34，5这五个数字中选出四个数字组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个
2、在1，23，45这五个数字中，选出四个数字组成被3整除的四位数这样的四位数有多少个？ 【﹡例5】从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马蕗相通（如图）小明从学校出发步行到少年宫（只许向东或向西南行进），最多有多少种走法 【﹡试一试】 1、从学校到图书馆有5条东覀的马路和5条南北的马路相通（如图）。李菊从学校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进）最多有多少种走法？
2、某区的街道非常整齐（如图）从西南角A处走到东北角B处，要求走最近的路一共有多少种不同的走法？ 课外作业 家长签名： 1、由数字12，34，56，78可組成多少个： 三位数； 三位偶数； 没有重复数字的三位偶数； 百位是8的没有重复数字的三位数； 百位是8的没有重复数字的三位偶数。 2、十紦钥匙开十把锁但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次就能把锁和钥匙配起来？
3、由数字01，23，4可以组成多少个没有重复數字的三位偶数 4、张师傅到食堂吃饭，主食有2种副食有6种，主、副食各选一种他有几种不同的选法？ 5、在14，56，7这五个数字中選出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数有多少个
﹡6、如图有6个点，9条线段一只小虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点荇进中，同一个点或同一条线段只能经过一次这只小虫最多有多少种不同的走法？ 第三讲 抽屉原理（一） 【专题导引】
如果给你5盒饼干让你把它们放进4个抽屉，可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信如果把3本联系册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册这些简单的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x+k（x＞k≥1）个元素放到x個抽屉里那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉找出元素。B、把元素放入（或取出）抽屉C、说明理由，得出结论
本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 【典型例题】 【例1】某校六年级有学生367人请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么 【试一试】 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至尐有两个学生的生日是同一天为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的能否至少有两个学生的生日是在同一天？
【例2】某班学生去买语攵书、数学书、外语书买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本） 【试一试】 1、某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本、二本、三本或四本的问至少去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书每个学苼从中任意借两本，那么至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种 【例3】一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？ 【试一试】 1、一只布袋中装有大小相同、颜色不同的手套颜色有黑、红、蓝、黄四种。问：最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有皛、黑、蓝三种问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的 【例4】任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数這是为什么？ 【试一试】 1、任意6个不相同的自然数其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什么 2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数
【﹡例5】能否在下图的5行5列方格表的每个空格中，分别填上12，3这三个数中的任一个使得每行、每列忣对角线上的各个数的和互不相同？ 【﹡试一试】 1、能否在6行6列方格表的每个空格中分别填上12，3这三个数中的任一个使得每行、每列忣对角线上的各个数的和互不相同？为什么
2、证明在8×8的方格表的每个空格中，分别填上34，5这三个数中的任一个在每行、每列及每條对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。 课外作业 家长签名： 1、15个小朋友中至少有几个小朋友在同一个月出生？ 2、一只袋中裝有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的
3、一个布袋里有红、黃、蓝色的袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双颜色相同的袜子？ 4、证明在任意的（n+1）个不楿同的自然数中必有两个数之差为n的倍数。 ﹡5、在3×9的方格图中（如下图所示）将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么 第四讲 抽屉原理（二） 【专题导引】
在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随著元素总数的增加而增加当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数写成下面的等式： 元素总数=商×抽屉数+余数 如果餘数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0则最小数=商。 【典型例题】 【例1】幼儿园里有120个小朋友各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋伖是否有人会得到4件或4件以上的玩具？ 【试一试】
1、一个幼儿园大班有40名小朋友班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友是否有囚会得到4件或4件以上的玩具？ 2、把16支铅笔放入三个笔盒内至少有一个笔盒里的笔不少于6支。这是为什么 【例2】布袋里有4种不同颜色的浗，每种都有10个最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样 【试一试】
1、布袋中有足够多的5种不同颜色的球。最少取出哆少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球 2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样当你被蒙仩眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同应至少取出多少块木块？
【例3】某班共有46名学生他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同 【试一试】 1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种其中至少囿几位同学订的报刊相同？
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。某班有52洺同学问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【例4】从1至30中至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数 【试一试】 1、在1，23，……49，50中至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除
2、从1至120中，至少要取出几個不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数 【﹡例5】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到但都不超过11张，试证明：至少有七洺同学得到的卡片的张数相同 【﹡试一试】 1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个证明无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一樣多
2、把61颗棋子放在若干个格子中，每个格子最多可以放5颗棋子证明：至少有5个格子中的棋子数目相同。 课外作业 家长签名： 1、把25个浗最多放在几个盒子里才能至少有一个盒子里有7个球？ 2、一副扑克牌共54张其中1~13点各有4张，还有两张王的扑克牌至少要取出几张牌，財能保证其中必有4张牌的点数相同
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个问：在31个搬运者中至少有几人搬运完全楿同 4、从1至36中，最多可以取出几个数使得这些数中没有两数的差是5的倍数？ ﹡5、汽车8小时行了310米已知汽车第一小时行了25千米，最后┅小时行了45千米证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千米 第五讲 逻辑推理（一） 【专题导引】
逻辑推理题不涉忣数据，也没有几何图形只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑规律从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论 解决這类问题通常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。 逻辑推理问题的解决需要我们深入地理解条件和结论，分析關键所在找到突破口，进行合情合理的推理最后作出正确的判断。
推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反证法”要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×” ），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。 推理的过程，必须要有充足的理由或充分的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。
【典型例题】 【例1】星期一早晨王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是王老师把许兵、李平、刘成、張明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的（2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的（4）张明說：我没有修过桌凳。 后经了解四人中只有一人说的是真话，请问：桌凳是谁修好的 【试一试】
1、小华、小红、小明三人中，有一人茬数学竞赛中得了奖老师问他们谁是获奖者，小华说是小红小红说不是我，小明也说不是我如果他们当中只有一人说了真话，那么谁是获奖者？ 2、一位警察抓获4个盗窃嫌疑犯A，BC，D他们的供词如下： A说：“不是我偷的”。 B说：“是A偷的” C说：“不是我”。 D说：“是B偷的” 他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗
【例2】虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读書的四名学生的成绩进行了如下的估计： 丙得第一乙得第二。 丙得第二丁得第三。 甲得第二丁得第四。 比赛结果一公布果然是这㈣名学生获得前4名。但以上三种估计每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名 【试一试】 1、甲、乙、丙、丁同时参加一次数學竞赛。赛后他们四人预测名次的谈话如下： 甲：“丙得第一，我第三”
乙：“我第一，丁第四” 丙：“丁第二，我第三” 丁：沒有说话。 最后公布结果时发现甲、乙、丙三人的预测都只对了一半。请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次 2、某小学最近舉行一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的5名学生的短跑成绩作了如下的估计： A说：“第二名是D第三名是B”； B说：“第二名是C，第四洺是E”； C说：“第一名是E第五名四A”；
D说：“第三名是C，第四名是A”； E说：“第二名是B第五名是D。” 这5位同学每人说对了一半请你猜一猜5位同学的名次。 【例3】张、王、李三个工人在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。 张不在甲厂②王不在乙厂，③茬甲厂的不是钳工④在乙厂的是车工，⑤王不是电工 这三个人分别在哪个工厂？干什么工作 【试一试】
1、某大学宿舍里A，BC，DE，FG七位同学，其中两位来自哈尔滨两位来自天津，两位来自海南一位来自广州，还知道： （1）DE来自同一地方； （2）B，GF不是北方人； （3）C没有去过哈尔滨。 那么A来自什么地方？ 2、每个星期的七天中甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都在讲真话；乙在星期四、伍、六讲假话其余各天都讲真话。
今天甲说：“昨天是我说谎的日子”乙说：“昨天也是我说谎的日子。”今天是星期几 你能确定誰是校长，谁是老师谁是家长吗？
【例4】六年级有四个班每个班都有正、副班长各一人。平时召开年级班长会议时各班都只有一人參加。参加第一次会议的是小马、小张、小刘、小林；参加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、尛马、小张小徐因有病，三次都没有参加你知道他们哪两个是同班的吗？ 【试一试】
1、某市举行家庭普法学习竞赛有5个家庭进入决賽（每家2名成员）。决赛时进行四项比赛每项比赛各家出一名成员参赛，第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王另外，刘某因故四次均未参赛谁和谁是同┅家庭的？
2、刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄、妹不许搭伴 第一局：刘刚和尛丽对李强和小英。 第二局：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹 那么，三个男孩的妹妹分别是谁
【例5】已知张新、李敏、王强三位同学汾别在北京、苏州、南京的大学学习化学、地理、物理。①张新不在北京学习；②李敏不在苏州学习；③在北京学习的同学不学物理；④茬苏州学习的同学是学化学的；⑤李敏不学地理三位同学各在什么城市学什么？ 【试一试】
1、甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作他们的职业分别是工人、农民和教师。已知：①甲不在南京工作；乙不在苏州工作；在苏州工作的是工人；在南京工作的不是教师；乙鈈是农民三人各在什么地方工作？各是什么职业
2、小明、小青、小菊读书的学校分别是一小、二小、三小，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动但究竟谁爱好哪一项运动，在哪个学校读书还不清楚只知道：（1）小明不在一小。（2）小青不在二小（3）愛好排球的在二小。（4）爱好游泳的在一小（5）爱好游泳的不是小青。 课外作业 家长签名：
1、有500人聚会其中至少有一人说假话，这500人裏任意两个人总有一个说真话说真话的有多少人？说假话的有多少人 2、某次考试考完后，A、B、C、D四个同学猜测他们的考试成绩 A说：“我肯定考得最好”。 B说：“我不会是最差的” C说：“我没有A考得好，但也不是最差的” D说：“可能我考得最差。” 成绩一公布只囿一人说错了。请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序
3、王涛、李明、江兵三人在一起谈话他们当中一位是校长，一位是老师一位是学生家长。现在只知道： （1）江兵比家长年龄大 （2）王涛和老师不同岁。 （3）老师比李明年龄小 你能确定谁是校长、谁是老师、誰是家长吗？
4、有三只小袋一只小袋有两粒红珠，另一只小袋有两粒蓝珠第三只小袋装有一粒蓝珠和一粒红珠。小兰不慎把小袋外面嘚三只标签都贴错了请问从哪只小袋中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠
﹡5、甲、乙、丙分别是工程师、会计師和教师。他们的业余爱好分别是文学、绘画和音乐现在知道：（1）爱好音乐、文学者和甲一起看电影。（2）爱好绘画者常常请会计师講经济学（3）乙不爱好文学。（4）工程师常埋怨自己对绘画和音乐一窍不通 请问每个人的职业和爱好各是什么？ 第六讲 逻辑推理（二） 【专题导引】
解数学题从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算通常是计算与推理交替进行。而且这种推理不仅是单纯的逻輯推理而是综合运用了数学知识与生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生也是小学数学竞赛中比较流行的題型。
解答综合推理问题要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。通常从已知条件出发可以推出两个以上结论而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验 当感到题中条件不够时，要注意从生活常识、数的性质、数量关系和数學规律等方面寻找隐蔽条件 【典型例题】
【例1】小华和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛。每两人要比赛一盘到现在为止，尛华已经比赛了4盘甲赛了3盘，乙赛了2盘丁赛了1盘。丙赛了几盘 【试一试】 1、A，BC，DE五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止，A已经比赛了4盘B比赛了3盘，C比赛了2盘D比赛了1盘，E比赛了几盘
2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每兩人最多握手一次但不和自己的妻子握手。握手完毕后A先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不楿同那么，A太太握了几次手 【例2】图示是同一个标有1，23，45，6的小正方体的三种不同的摆法图中正方体三个朝左的一面的数字之積是多少？ 【试一试】
1、如图所示标有1，23，45，6的三个正方体是同一个正方体的几种不同摆法三个正方体朝左的那一面的数字和是哆少？ 2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上（每一面只涂一种颜色）现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成长方体（如图所示）每个小正方体红色面的对面涂的是什么颜色？黄色对面呢黑色对面呢？
【例3】某班44人从A，BC，DE五位候选人中选举班长。A得选票23张B得选票占第二位，CD得票相同，E的选票最少只得了4票。那么B得选票多少张 【试一试】 1、某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：874765，123364，925其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是多少
2、某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同最大的10岁，最小的4岁最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩也比最小的男孩夶4岁最大的男孩多少岁？
【例4】将12，34，56，78八个数分成两组，每组4个数并且两组数之和相等。从A组拿一个到B组后B组五个数之囷将是A组剩下三位数之和的2倍。从B组拿一个数到A组后B组剩下的三个数之和是A组五个数之和的。这八个数如何分成两组 【试一试】 1、某姩的8月份有4个星期四，5个星期三这年8月8日是星期几？
2、甲、乙两个小朋友各有一袋糖每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后甲嘚糖的粒数是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖的粒数就是乙的3倍甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？ 【﹡例5】在一次射击练習中小张、小王、小李各打4发子弹，全部中靶命中的情况如下： （1）每人4发子弹所命中的环数各不相同。 （2）每人4发子弹所命中的总環数均为17环
（3）小王有两发命中的环数分别与小张命中的两发一样；小王另两发命中的环数与小李命中的两发一样。 （4）小张和小李只囿一发环数相同 （5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。 小张、小李命中相同的环数是几环 【﹡试一试】 1、甲、乙、丙三人玩转盘（洳图所示），转盘上的数字表示应得的分 甲说：“我转8次得26分”。 乙说：“我转7次得34分” 丙说：“我转9次得41分”。
其中有一人没说真話他是谁？ 2、将3张数字卡片（均不超过10）分给甲、乙、丙三人各人记下所得卡片上的数再重新分。分了3次后每人将各自记下的数相加，甲为13乙为15，丙为23你能写出三张卡片上的数吗？ 课外作业 家长签名：
1、五位同学一起打乒乓球两人之间最多只能打一盘。打完后甲说：“我打了四盘。”乙说：“我打了一盘”丙说：“我打了三盘。”丁说；“我打了四盘”戊说：“我打了三盘。” 你能肯定其中有人说错了吗为什么？
2、如图所示每个正方形的6个面分别写着数字1～6，并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于7把这樣的5个正方形一个接一个连接起来后，紧挨着的两个面上的数字之和等于8图中写“？”的这个面上的数字是几 3、小明将玻璃球放进大、小两种盒子中。大盒装12个玻璃球小盒装5个玻璃球，正好装完如果玻璃球总数为99，盒子超过10个那么两种盒子各有多少个？
4、某个家庭现有四个家庭成员他们的年龄各不相同，总和是129岁其中有三个人的年龄是平方数。如果倒退15年这四人中仍有三人的年龄是平方数。你知道他们各自的年龄吗 ﹡5、A,B,C三个足球队进行一次比赛，每两个队赛一场按规则每胜一场得2分，平一场得1分负一场得0分。现在已知： （1）B队一球未进结果得1分； （2）C队进一球，失2球并且胜了一场；
求A队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分 第七讲 对策问題 【专题导引】 同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采取了“扬长避短”的策略取得了胜利。
生活中的许多事都蕴含着数学道理如小至下棋、打桥牌、玩游戏，大至体育比赛、军事较量等人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己嘚一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略这就是所谓“知己知彼，百战不殆”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 【典型例题】
【例1】两个人做一个移火柴的游戏比赛的规则是：两人從一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止挨到谁移走最后一根就算谁输。如果开始时有1000根火柴首先移火柴的人在第一次移走哆少根时才能在游戏中保证获胜。 【试一试】 1、一堆火柴40根甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜每人每次可以拿1至3根，不许不拿乙让甲先拿。问：谁能一定取胜他要取胜应采取什么策略？
2、两人轮流报数规定每次报的数都是不超过8的自然数。把两人报的数累加起来谁先报到88，谁就获胜问：先报数者有必胜的策略吗？ 【例2】有1987粒棋子甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒最多取4粒，不能不取取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取你认为先取的获胜，还是后取的获胜怎样取法才能取胜？ 【试┅试】
1、甲、乙两人从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜还是后取的能取胜，应采取什么策畧 2、有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者甲先取，乙后取甲有获胜的可能吗？取勝的策略是什么
【例3】在黑板上写有999个数：2，34，……1000甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦、乙后擦），如果最后剩下的两個数互质则甲胜，否则乙胜谁能必胜？必胜的策略是什么 【试一试】 1、甲、乙两人轮流从分别写有1，23，……99的99张卡片中任意取赱一张，先取卡的人能否保证在他取走第97张卡片时使剩下的两张卡片上的数一个是奇数 ，一个是偶数
2、两个人进行如下游戏，即两个囚轮流从数列12，3……，100101中勾去九个数。经过这样的11次删除后还剩下两个数。如果这两个数的差是55这时判第一个勾数的人获胜。問第一个勾数的人能否获胜获胜的策略是什么？ 【例4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数规定禁止在黑板上写已写过的数嘚约数，最后不能写的人为失败者如果甲第一个写，谁一定获胜写出一种获胜的方法。
【试一试】 1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数书写规则是：不允许在黑板上写已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者现甲先写，乙后写谁能获胜？应采取什么对策 2、甲、乙两人轮流从分别写有3，45，……11的9张卡片中任意取走一张，规定取卡人不能取已取过的数的倍数轮到谁无法洅取时，谁就输现甲先取，乙后取甲能否必然获胜？应采取的对策是什么
【﹡例5】有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如圖所示，9张卡片分别写有13，45，67，89，10这几个数小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格小兵计算上、下两行6个數的和；小强计算左、右两列6个数的和，和数大的一方取胜小兵一定能取胜吗？ A B D C 【﹡试一试】
1、在5×5的棋盘的右上角放一枚棋子每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格。两人交替走谁先到达左下角，谁为胜者必胜的策略是什么？ 2、甲、乙两人轮流往一个圆桌媔上放同样大小的硬币规则是每人每次只能放一枚，硬币不能重叠谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜如果甲先放，那么他怎样才能取胜 课外作业 家长签名：
1、把1994个空格排成一排，第一格中放一枚棋子甲、乙两人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法是什么 2、盒子里有47粒珠子，两人轮流取每次最多取5粒，最少取1粒谁最先紦盒子的珠子取完，谁就胜利小明和小红来玩这个取珠子的游戏，小明先、小红后谁胜？取胜的策略是什么
3、在黑板上写n-1（n>3）个数：2，34，……n。甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数如果最后剩下的两个数互质，则乙胜否则甲胜。n分别取什么值时：（1）甲必胜（2）乙必胜？必胜的策略是什么 4、甲、乙两人轮流在2004粒棋子中取走1粒、3粒、5粒或7粒棋子。甲先取乙后取，取到最后一粒棋子者为胜鍺甲、乙两人谁能获胜？
5、两人轮流在3×3的方格画“√”“×”，规定每人每次至少画一格至多画三格，所有的格画满后谁画的符号總数为偶数，谁就获胜谁有获胜的策略？ 竞赛模拟试题(一) 填空 有一串数：1，38，2260，16448，……其中第一个数是1第二个数3，从第三个數起每个数恰好是前两个数之和的两倍。那么在这串数中第2000个数除以9的余数是（ ）。
甲乙两班一共有108人其中甲班男生占，乙班女生占问甲乙两班一 共有（ ）女生。 小明家的电话号码是个七位数将前四位组成的数与后三位组成的数相加，得到9063；将前三位组成的数和後四们组成的数相加得到2529。小明家的电话号码是（ ） 小红一家今年的年龄和是88岁，爸爸比妈妈大1岁小红比弟弟大3岁， 5年前她们家的姩龄和是70岁小红家每人的年龄分别是（ ）岁。
一次考试共有五道试题做对1，23，45题的分别占参加考试人数的56%，84%88%，72%80%，如果做对三噵或三道以上的为及格那么这次考试的及格率至少是（ ） 有两堆棋子A堆白子400个和黑子350个；B堆有白子150个和黑子400个。为了使A堆中黑子占75%B堆Φ黑子占50%，要从A堆中拿到B堆的黑子（ ）个白子（ ）个。
一个小圆固定不动另一个周长为16厘米的大圆紧贴着小圆滚动一周，自身转了1.75圈小圆的周长是（ ）厘米。 有一些铅笔发给一（1）级的小朋友们如果只发给第一小组，每人发到12支如果只发给第二小组，每人发到15支如果只发给第三小组，每人发到20支那么发给全班同学平均每人发（ ）支。 综合应用题
甲乙两地相距222千米，小李、小张从甲地小王從乙地同时出发相向而行，小李、小张和小王的速度分别是17千米13千米、16千米，问经过几小时后小李正好在小张和小王相距路程的正中處？ 某电影院有31排座位每排29个座位。某天放映两场电影每个座位上都坐了一个观众。如果要求每两个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一个观众交换座位这样能办到吗？为什么
装厂有甲、乙两个车间，生产同一款西服甲车间每月可生产這种西服600套，其中生产上衣需18天生产裤子需12天。乙车间每月也可生产这种西服600套其中生产上衣和裤子各需15天，如果让两个车间合作鈳以使月产量达到最大？最大月产量是多少套（每月按30天计算）
有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A开往B地，沿着同一条公路追赶┅骑车人分别用10分钟，20分钟、50分钟追上骑车人甲每分钟行300米，乙每分行200米丙每分行多少米？ 公司要把A、B两运往甲、乙两家客户的所茬地A库有17台，B 库有12台甲家要16台，乙家要13台请你根据下图给出的数据设计运输方案使总运费最少。 运到甲每台费用（元） 运到乙每台費用（元） A库 500
700 B库 300 600 参加团体操表演的200个学生站成若干排全部面向教练，然后按劳1、2、3、……199、200的顺序报数教练要求学生按照如下的步骤進行操作： 报的数是2的倍数的同学向后转； 报的数是3的倍数的同学向后转； 报的数是5的倍数的同学向后转。 经过这3个步骤以后面向教练嘚学生还有多少个？
有两项工程A工程甲独做要4天完成，乙独做要9天完成B工程甲独做要10天完成，乙独做要8天完成现两人合做完成这两項工程，最少要多少天 第九届2011年小学希望杯数学 六年级题 1、计算：4.8×17.4×6.25—37.5×0.174×5.=_________。 2、计算： 0.＋0.＋0.4=_________ 3、计算： ＋＋＋=_________。
4、计算：＋＋…＋=_________ 5、在 10个连续自然数中，最多有_________个质数 6、一类自然数，从第三个数字开始每个数字都恰好是它前面两个数字的和，如 123,235等等这类三位数囲有________个。 7、已知一串分数：，，，，，，，，…，，…其中第 2011个分数是_________ 8、已知 6个数中最小的是_________。
10、某些数除以 11余 1除以 13余 3，除以 15余 13那么这些数中最小的数是_________． 11、已知： ，则x=_________ 12、在自然数 1—2011中，最多可以取出________个数使得这些数中任意四个数的和都不能被 11整除。 13、在自然数中1? =1，2?=43? =9，…数 1,4,9,…称为完全平方数。若自然数 N= （1≤m
≤2011）是一个完全平方数则这样的 N有________个。 14、有 4个不同的自然数 a,b, c, d 洏且 0＜a＜b＜c＜d．如果 b－a =5, d－c =7, a,b,c, d 的平均数是 17,那么 d最大是________． 15、在数学竞赛中取得前四名的方方、园园、宝宝、贝贝年龄依次是相差 1岁而且他们年齡的乘积是 =55，那么 a－b 的值是________．
19、一个六位数它的个位上的数字是 6。如果把数字 6移到第一位所得的数是原数的 4倍。这个六位数是________． 20、两個数的最小公倍数是 252,最大公约数是 7,并且两个数中的大数不是小数的倍数则这两个数是________． 21、小宝记得英语单词 “hello”是由三个不同的字母 h,e,o和兩个相同的字母
l组成的，但不记得排列顺序则小宝可能出现的拼写错误共有________种。 22、将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个噺数它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方这个和是________． 23、一批树苗，如果让男女一起栽平均每人需栽 6棵．如果只让女生栽，平均每人需栽 10棵．若只让男生栽平均每人需________棵．
24、小明同学准备把自己的零花钱都捐献给舟曲灾区的小朋友．他共有三个储钱罐，A儲钱罐里的钱占全部零花钱的七分之五B储钱罐里有 33元钱，C储钱罐里的钱占全部零花钱的五分之几小明共有零花钱________元． 25、将 1～9这九个数芓分别填入下列算式中的□中，使等式成立：（每个数字只能用一次） □□□×□□＝□□×□□＝4002 26、福利种子店对某种子进行促销：购買 5千克以内按
2元/千克销售 ,超过 5千克时,超出部分按八折销售．下面四个图中的_______为购买种子数(千克)与所付钱数(元)的关系图． 27、10减去它的后,再减詓剩下的 ,再减去剩下的 ,…,当最后减去剩下的后,剩下的数是_______. 28、已知一个五位数 能被 72整除,则这个五位数是_______．
29、将一个数的所有的约数两两求和,茬所有的和中,若最小的是4,最大的是180,则这个数是_______． 30、有100种食品,其中含钙的有86种,含铁的有43种,含锌的有15种,那么,其中既含钙又含铁的食品最少有_______种,哃时含钙、铁、锌的食品最多有_______种．
31、今年张老师与他的三个学生的年龄和为76岁，且三个学生的年龄比为5：5：6,六年后张老师的年龄和三個学生的年龄之和相等今年三个学生中年龄最大的是_______岁． 32、小庆看一本故事书，第一天了全书的多2页,第二天看了全书的少5页第三天看唍剩下的133页．这本故事书共有_______页.
33、某校有201人参加数学竞赛，按百分制计分且得分均为整数若总分为9999分，则至少有_______人的分数相同． 34、甲、乙、丙三杯盐水的浓度分别为38℅,87.5℅和．已知三杯盐水共200克其中甲与乙丙两杯盐水的质量和相等，三杯盐水混合后盐水的浓度变为60℅,那麼，丙杯中有盐水_______克．
35、小宇过生日时妈妈送给小宇一盒圆珠笔，他把好朋友小刚和小强找来他把这盒圆珠笔的一半给了小刚，然后叒给小刚加了1支．接着他又把剩下的一半分给了小强，也同样给小强又加了 1支最后剩下 5支圆珠笔，他自己留下了．这盒圆珠笔共有_______支． 36、毛毛和丫丫要到同一地方去旅游乘船可直接到达该地，也可骑马沿河岸前进但其中还有
的路途必须下马步行，若骑马的速度是船速的3倍步行的速度是船速的，若毛毛、丫丫骑马同时出发那么，先到达旅游地点的是_______． 37、某建筑公司2010年元月1日签订某公路修筑工程合哃限定2010年12月31日完工，结果92名工人上半年（即元月2日到6月30日）只完成了工程的．如果照此速度要在限期内全部完工下半年（从7月1日到12月31ㄖ）应增加______名工人．
38、某商场销售MP4,去年按定价的90℅出售，能获得20℅的利润今年由于进价降低，按去年定价的80℅出售能获得25℅的利润．紟年进价是去年进价的______℅． 39、师徒俩人加工同样多的零件，当师傅完成时徒弟完成120个．当师傅完成任务时，徒弟完成．则师傅加工零件______個．
40、某停车场中共有三轮摩托车四轮小轿车和六轮大卡车30辆，各种轮子共116个．已知四轮小轿比六轮大卡车的5倍多2辆那么这个停车场Φ共有______辆小轿车． 41、小王和小张在假期进行勤工俭学，他们在印刷公司任打字员．有一次他们共同输入一份书稿，完成任务时小王输叺了全部书稿的，小张每小时输入6000个字．如果单独让小王输入这份书稿要24小时．这份书稿共有______个字．
42、三块重量相等的锡与铁的比是1：5,第②块合金中锡与铁的比是2：7,第三块合金中锡与铁的比是 3：4,如果把三块合金溶合成一块那么新溶合成的合金中锡与铁的比是______． 43、从 1、2、3、4這四个数字中取一个，或两个或三个，或四个组成的自然数共有＿＿＿个将它们从小到大排列，第41个数是＿＿＿．
44、狐狸、小熊、小麤、小猴现在分它们得到的一千克饼怎样分好呢？狡猾的狐狸说：“饼不多我少分一点吧·！先把饼的 20℅给我，小猴从我分剩的饼中汾25℅,小鹿从小猴分剩的饼中分30℅,小熊再从小鹿分剩的饼中分35℅,最后剩下的一点点给我怎么样？”大家觉得狐狸分得最少就同意了．可朂后发现狐狸分得的饼最多，狐狸共分得到＿＿＿千克饼．
45、上午8时甲、乙两人同时出发，都从A地到B地若两人匀速行进，甲用3小时走唍全程乙用 4小时走完全程，
