考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线的斜率
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设双曲线E的半焦距为c，根据离心率为355，双曲线方程，即可求实数a的值；（2）设点P(53&，t)，Q（x0，y0），根据PF2•QF2=0，点Q（x0，y0）在双曲线E上，可得y02=45(x20-5)，表示出直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简可得结论；（3）设点H（x，y），且过点P(53&，1)的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），则4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=45(x12-5)，y22=45(x22-5)，设|PM||PN|=|MH||HN|=λ，求出坐标之间的关系，化简可得点H恒在定直线4x-3y-12=0上．
（1）解：设双曲线E的半焦距为c，由题意可得ca=355c2=a2+4.，解得a=5．（2）证明：由（1）可知，直线x=a23=53，点F2（3，0）．设点P(53&，t)，Q（x0，y0），因为PF2•QF2=0，所以(3-53，-t)&#，-y0)=0，所以ty0=43(x0-3)．因为点Q（x0，y0）在双曲线E上，所以x025-y024=1，即y02=45(x20-5)．所以kPQ•kOQ=y0-tx0-53&#=y20-ty0x20-53x0=45(x20-5)-43(x0-3)x02-53x0=45．所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值45．（3）证明：设点H（x，y），且过点P(53&，1)的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），则4x12-5y12=20，4x22-5y22=20，即y12=45(x12-5)，y22=45(x22-5)．设|PM||PN|=|MH||HN|=λ，则PM=λPN&MH=λHN.．即(x1-53&，y1-1)=λ(x2-53&，y2-1)&(x-x1&，y-y1)=λ(x2-x&，y2-y).整理，得x1-λx2=53&(1-λ)，①y1-λy2=1-λ，②x1+λx2=x(1+λ)&，③&y1+λy2=y(1+λ)．，④由①×③，②×④得x12-λ2x22=53(1-λ2)x&，⑤y12-λ2y22=(1-λ2)y．，⑥将y12=45(x12-5)，y22=45(x22-5)代入⑥，得y=45×x12-λ2x221-λ2-4．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑦将⑤代入⑦，得y=43x-4．所以点H恒在定直线4x-3y-12=0上．
点评：本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．
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科目：高中数学
P是圆O：x2+y2=4上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PQ中点M的轨迹记为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若直线l：y=kx+3与曲线Γ相切，求直线l被圆O截得的弦长．
科目：高中数学
若点A（1，2）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，经过点B（5，-2）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求证：PA•QA为定值；（Ⅱ）若点P，Q与点A不重合，问△APQ的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e=22，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F1（-1，0），F2（1，0），若过F1的直线交曲线C于A、B两点，求F2A•F2B的取值范围．
科目：高中数学
设公差为d（d≠0）的等差数列{an}与公比为q（q＞0）的等比数列{bn}有如下关系：a1=b1，a3=b3，a7=b5．（Ⅰ）比较a15与b7的大小关系，并给出证明．（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使得an=bm？若存在，求出m，n之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆G与抛物线y2=-4x有一个公共的焦点，且过点（-62，1）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆G在第一象限上的任一点，连接PF1，PF2，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆G有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值；（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F2Q⊥F2P，设F2Q交l于点Q，证明：当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上．
科目：高中数学
在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，3），N（0，-3），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．（1）求轨迹P的方程；（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：y=kx+b1与轨迹P相交于A，B两点，若y轴上存在一点Q，使得直线QA，QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；（3）是否存在不过点E（0，1），且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：x2+（y-1）2=9从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足.ED-.EC=.EG-.EF？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k2的值；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是．
科目：高中数学
设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为（　　）
A、相离B、相切C、相交但不经过圆心D、相交且经过圆心【解析】(Ⅰ)设点P，T，
直线AP的斜率为k(k&0)，则直线AP的方程为y＝k(x＋1)，
联立方程组，整理得(4＋k2)x2＋2k2x＋k2－4＝0，
解得x＝－1或x＝，故x2＝.
同理可得x1＝.所以x1·x2＝1.
(Ⅱ)设点P(x1，y1)，T(x2，y2)，
则＝(－1－x1，－y1)，＝(1－x1，－y1)．
因为·≤15，所以(－1－x1)(1－x1)＋y≤15，
即x＋y≤16.
因为点P在双曲线上，则x－＝1，
所以x＋4x－4≤16，即x≤4.
因为点P是双曲线在第一象限内的一点，则1&x1≤2.
因为S1＝＝，S2＝＝，
所以S－S＝y－y＝(4－4x)－(x－1)＝5－x－4x.
由(Ⅰ)知，x1·
x2＝1，即x2＝.
设t＝x，则1&t≤4，
S－S＝5－t－.
设f(t)＝5－t－，则f′(t)＝－1＋＝，
当1&t&2时，f′(t)&0，当2&t≤4时，f′(t)&0，
所以函数f(t)在(1，2)上单调递增，在上单调递减．
因为f(2)＝1，f(1)＝f(4)＝0，
所以当t＝4，即x1＝2时，(S－S)min＝f(4)＝0；
当t＝2，即x1＝时，(S－S)max＝f(2)＝1，
所以S－S的取值范围为.
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科目：高中数学
来源：成功之路·突破重点线·数学（学生用书）
已知椭圆x2＋＝1及两点P(－2，0)、Q(0，1)，过点P作斜率为k的直线交椭圆于不同的两点A、B，设线段AB的中点为M，连结QM．
(1)k为何值时，直线QM与椭圆的准线平行？
(2)试判断直线QM能否过椭圆的顶点？若能，求出相应的k值，若不能，说明理由．
科目：高中数学
来源：贵州省云峰中学2010届高三下学期3月月考数学试题
已知椭圆x2＋＝1(b∈(0，1))的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)
(1)当m＋n＞0时，椭圆的离心率的取值范围
(2)直线AB能否和圆P相切？证明你的结论
科目：高中数学
来源：新疆乌鲁木齐一中2012届高三上学期第三次月考数学文科试题
已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，且与椭圆x2＋＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0，1)，与椭圆C交于不同两点A、B．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．
科目：高中数学
来源：广东省广州市2012届高三第一次模拟考试数学文科试题
已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意a∈[3，4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．
已知椭圆x2＋＝1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为的双曲线，设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1·x2＝1；
(3)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2，且，求S－S的取值范围．－5【解析】设P(m，n)、M(s，t)，则＝1，m2－a2＝，＝1，s2－a2＝－，由＋＝λ(＋)．得＝λ，即.k1＋k2＝＋＝＝5，∴，k3＋k4＝＝－5. 
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科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用21练习卷（解析版）
题型：填空题
设f(x)＝x2－2x－3(x∈R)，则在区间[－π，π]上随机取一个数x，使f(x)＜0的概率为________． 
科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用18练习卷（解析版）
题型：解答题
已知的展开式的二项式系数之和比(a＋b)2n的展开式的系数之和小240，求n的展开式中系数最大的项． 
科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用15练习卷（解析版）
题型：解答题
在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值． 
科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用14练习卷（解析版）
题型：解答题
设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)&2；(2)求函数y＝f(x)的最小值． 
科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用13练习卷（解析版）
题型：填空题
已知椭圆＝1(0&b&2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为________． 
科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用12练习卷（解析版）
题型：填空题
已知双曲线C与椭圆＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________． 
科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮复习专题提升训练江苏专用11练习卷（解析版）
题型：填空题
若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________． 
科目：高中数学
来源：2014年高考数学（文）二轮专题复习与测试选择填空限时训练3练习卷（解析版）
题型：选择题
在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为(
B．0.2C．40
D．0.25 这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~（1）λ=|PF2||PF1|=b2a2a-b2a，化为2a2λ-b2λ=b2，整理为b2a2=2λ1+λ．∴e2=c2a2=1-b2a2=1-2λ1+λ=1-λ1+λ，∴e=1-λ1+λ，在λ∈[13，12]上单调递减．∴λ=12时，e2最小13，λ=13时，e2最小12，∴13≤e2≤12，∴33≤e≤22．（2）当e=22时，ca=22，∴c=b=22a，∴2b2=a2．∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=6．又|PF1|=2a-b2a=2a-a2a=32a=6，∴a=4，c=b=22．∴椭圆方程是x216+y28=1．（3）由（2）得到|PF2|=b2a=a2=2，于是圆心Q（0，1），半径为3，圆Q的方程是x2+（y-1）2=9．椭圆的右准线方程为x=42，∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，∴切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为(42，t)，∴该圆方程为x(x-42)+(y-1)(y-t)=0．∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：42x+(t-1)y-8-t=0，这就是直线MN的方程．该直线化为：(y-1)t+42x-y-8=0，∴y-1=042x-y-8=0，解得x=928y=1∴直线MN必过定点(928，1)．
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科目：高中数学
来源：不详
题型：单选题
设A，B∈R，A≠B且AB≠0，则方程Bx-y+A=0和x2B-y2A=1在同一坐标系下的图象可能是（　　）A．B．C．D．
科目：高中数学
来源：不详
题型：填空题
已知F1，F2是椭圆x216+y29=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
已知双曲线的方程为5x2-4y2=20两个焦点为F1，F2．（1）求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；（2）若椭圆与此双曲线有共同的焦点，且有一公共点P满足|PF1|•|PF2|=6，求椭圆的方程．
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，直线l：y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A．（1）求实数b的值；（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．
科目：高中数学
来源：不详
题型：单选题
从圆O：x2+y2=4上任意一点P向x轴作垂线，垂足为P′，点M是线段PP′的中点，则点M的轨迹方程是（　　）A．9x216+y24=1B．9y216+x24=1C．x2+y24=1D．x24+y2=1
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|=7，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|OP|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
已知椭圆 x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=63，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
科目：高中数学
来源：不详
题型：解答题
某圆锥曲线有下列信息：①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴；②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1；③曲线与坐标轴的交点不是两个；④曲线过点A（1，32）．（1）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程；（2）点F是改圆锥曲线的焦点，点F′是F关于坐标原点O的对称点，点P为曲线上的动点，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围．