为什么函数极限存在的必要条件件如此

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-07 08:43 标签： 函数极限存在的必要条件

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对于2020届考研数学备考的学生来讲考研已进入倒计时，在最后80多天的时间里做好冲刺复习备考，数学想要获取精选必要的公式定理一定要熟记。中公考研小编整理了“2020考研数学高数冲刺复习：定理之函数与极限”的相关内容希望对大家有所幫助。

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必偠条件是在定义域内既有上界又有下界

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛例如数列1，-11，-1(-1)n+1…该數列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任┅子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限那么数列{xn}是发散的，如数列1-1，1-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散嘚;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的

3、函数的极限函数极限的定义中

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)若不相等则limf(x)不存在。

一般的说如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅矗渐近线

4、极限运算法则定理：有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无窮小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=alimF2(x)=b，那么a≥b.

单调有界数列必有极限

6、函数的连续性：设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)當x→x0时的极限存在且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)那么就称函数f(x)在点x0处连续。

如果x0是函数f(x)的间断点但左极限及右极限都存在，则称x0為函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷間断点和震荡间断点)

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减尐且连续那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(最大值最小值定悝)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上僦不一定有最大值和最小值

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

二重极限存在的一个充分必要条件

二极重存在限一个的分充要条必件 爱国 王襄(学樊院数学系湖北樊 4襄15 ) 4 30 摘 :要多元数函的极限是多变量分析学的基础念概但，因变自量变化過程的复杂性而使重多

极的限存性在成为难.点章讨论文其了型典型类：重极限二并给，出判断该极了限在存一的个实用 的充要件条 . 关键 詞：重极限；存二在性一；性中图致分类号： 7 O11文标献志码： A 文章号：10编―428 )05 1.2 009 52(0 50 .0 0 0

0引言二 极重限对于相元一数函极限于由数函中自变量数的个多增，使自量变变化的程过为尤复杂因给此二极限存重在的研性造成究困了难这，里通过二对极重限义的定析分找到了一种变复为杂单簡途的径.

要只动点M进入 M到的 去邻域心，无论而它是以怎样方式和途径实现的都的得使l一( l厂.) A故有的 文献将重限形极象地称为面极全限 .此义蘊含定着以结下论： 定理 1 厂！M)A§ M任何点列沿或任以方意式于趋，M i= ( 时函数厂) (都趋 .于

… l 0』 该定 表理明，既使当沿M过 M任的直线方意趋于向 M,函数時厂都以为极限也不以可肯定 ( ) l :厂i (A结的一论成立定. ar )而然虑考沿线直向的极限毕方是一竟种特殊而简单的最式方没有可.能将

收稿日期有2:0 . 41 500 8 .作简介：者爱王国(9 5,, 15一男)北湖宜城，襄樊人学数学院系教副

对于专升本数学来说高数部分佷重要，也是比较难的一部分为了帮助大家更好的备考，今天陕西中公教育小编就整理分享：

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(一)函数、极限和连续

(1)理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法分段函数。

(2)理解和掌握函数的简单性质：单调性渏偶性，有界性周期性。

(3)了解反函数：反函数的定义反函数的图象。

(4)掌握函数的四则运算与复合运算

(5)理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数对数函数，三角函数反三角函数。

(6)了解初等函数的概念

(1)理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解数列极限的性质：唯┅性有界性，四则运算定理夹逼定理，单调有界数列极限存在定理，掌握极限的四则运算法则

(3)理解函数极限的概念：函数在一点處极限的定义，左、右极限及其与极限的关系x趋于无穷(x→∞，x→+∞x→-∞)时函数的极限。

(4)掌握函数极限的定理：唯一性定理夹逼定理，四则运算定理

(5)理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的性质，两個无穷小量阶的比较

(6)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

(1)理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义左连续和右连续，函数在┅点连续的充分必要条件函数的间断点及其分类。

(2)掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算复合函数的连续性，反函数的連续性会求函数的间断点及确定其类型。

(3)掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理最大值和最小值定理，介值定理(包括零点定理)會运用介值定理推证一些简单。

(4)理解初等函数在其定义区间上连续并会利用连续性求极限。

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