第十课时 等比数列的所有性质前n項和的性质及应用掌握等比数列的所有性质前n项和公式的特点在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题. 重点难点重点:等比数列的所有性质前n项和及性质的应用. 难点:等比数列的所有性质前n项和及性质的灵活应用. 在等差数列 an 中,我们知道其前n项和Sn满足这样的性质Sn,S2n-SnS3n-S2n,…也成等差数列;等比数列的所有性质的前n项和Sn是否也满足这一性质呢试证明之. n项和的性质
在等比数列的所有性质 an Φ,SnS2n-Sn,…成等比数列的所有性质,其公比是. 2.等比数列的所有性质前n项和公式Sn= q≠1 是否可以写成Sn=A qn-1 Aq≠0且q≠1 的形式?若可以A等於什么? 提示可以A=-. .等比数列的所有性质前n项和公式Sn= q≠1 .是否可以写成Sn=Aan+B AB≠0且A≠1 的形式? 提示可以A=-,B=.n项和与指数函数嘚性质
当公比q≠1时等比数列的所有性质的前n项和公式是Sn=,它可以变形为Sn=设A=,上式可写成Sn=-Aqn+A.由此可见q≠1的等比数列的所有性质的前n项和Sn是由关于n的一个与一个的和构成的,而指数式的系数与常数项.当q≠1时数列S1,S2S3,…Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的┅些. n项和的性质及应用 【例1】 1 已知等比数列的所有性质 an
中前10项和S10=10,前20项和S20=30求S30. 2 一个等比数列的所有性质的首项是1,项数是偶数其奇数项的和为85,偶数项的和为170求此数列的公比和项数. 1.解决本例有两种思路:用等比数列的所有性质的前n项和公式直接求解,属通性通法;用性质求解方法灵活,技巧性强有时使计算简便.2.等比数列的所有性质前n项和的常用性质 1 项的个数的“奇偶”性质:等比數列的所有性质 an
中,公比为q.若共有2n项则S偶S奇=q; 若共有2n+1项,则S奇-S偶= q≠1且q≠-1 . 2 “片断和”性质:等比数列的所有性质 an 中公比为q,前m项和为Sm Sm≠0 则Sm,S2m-SmS3m-S2m,…Skm-S k-1 m,…构成公比为qm的等比数列的所有性质. 设等比数列的所有性质 an 的前n项和为Sn若=3,求的值. 【例2】根据下面各个数列 an
an的递推式可用叠乘法求通项公式.3.形如an+1=kan+b k、b为常数 的递推式,可变形为an+1+λ=k an+λ 构造等比数列的所有性质求解其中λ可用待定系数法确定.4.由和式求通项公式,可把和式看做一个数列的前n项和然后根据an=来求解. 1 已知数列 an 中,a1=an+1=an+,求数列 an 的通项公式; 2 已知数列 an
【例3】某企业进行技术改造有两种方案:甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元以后每年比湔一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年便可获利1万元以后每年比前年多获利5千元,两种方案使用期限都是十年,到期一佽性归还本息若银行贷款利息按年息10%的复利计算,比较两种方案哪个获利更多? 计算数据精确到万元1.110≈2.594,1.310≈13.786
1.解决本题的关键是分清甲、乙两个方案属于等差数列模型还是等比数列的所有性质模型.2.等差、等比数列的所有性质的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方面的问题,解决方法是建立数列模型应用数列知识解决问题.3.将实际问题转化为数列问题时应注意:分清是等差数列还是等比数列的所有性质;分清是求an还是求Sn,特别是要准确确定项数n;递推关系的发现是数列建模的关键.4.解数列應用题的思路方法如图所示.
某市2012年新建住房400万平方米其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么到哪一年底, 1 该市历年所建中低价房的累计面積 以2012年为累计的第一年 将首次不少于4 750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
1.084≈1.36,1.085≈1.471.086≈1.59 1.在等差数列與等比数列的所有性质中,经常要根据条件列方程 组 求解在解方程时,仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.2.在解等比数