一些基本概念及其要求 事件的运算满足下面的运算规律 概率的一些重要性质 习题1－7 ( p33 混放模型 ) 某黑油漆加白漆是什么公司发出17桶黑油漆加白漆是什么其中白漆10桶， 黑漆4桶红漆3桶，在搬运中所有标签脱落 交货人随意将这些黑油漆加白漆是什么发给顾客，问一个订 货4桶白漆 3桶黑漆， 2桶红漆的顾客能 按所定颜色如数收到订货的概率是多少？ 条件概率及其计算 例 全概率公式和贝叶斯公式 补充例 例7(p24) 事件的独立性 如果事件A、B满足公式 P(B|A)=P(B) 或 P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B相互独立 补 充 例 (分布函数) 定义 分布函数F(χ)具有以下基本性质： (离散型随机变量的) 分布律 补充例 3 连续型随机变量及其概率密度 概率密喥具有下列性质： 常用的典型分布 标准正态分布 补充 例 X为连续型随机变量 定理 例2 (p62) 联合分布函数 边缘分布 补充例 补充例 相互独立的随机变量 連续型随机变量相互独立的等价条件 (续) 补充例 (续) 补充例 随机变量的数字特征 数学期望的重要性质 随机变量函数的数学期望 补充 例(四) 方差与標准差 方差的性质 正态分布的随机变量的线性组合的分布 标准化随机变量 六个典型分布的特征 定理 切比雪夫(Chebyshev)不等式 习题 4－32 (p142) 解 独立同分布的Φ心极限定理 补充例 (五) 补充例 (五) 例1 (p151 ) 补充习题 (五) 定义 (统计量 p159 ) 几个常用的统计量 评价标准 矩估计法 极大似然估计法 常用的概率分布的参数估计 補充例 区间估计 区间估计公式 补充例5(七) 假设检验 假设检验的求解过程 例2 (p219) (八) 补充例 (八) 拒绝域的确定 统计学中经常用到的几个概念 总体与个体 樣本方差的简算公式 其中的g是一个连续函数。 统计学的三大分布 三大分布的定义及其上α 分位点的意义 (不论服从什么分布，只要均值和方差存在) 这是对一般分布的结论从上面结论看到， 下面结论是专门针对正态总体的 则有 则有下面的结论 矩估计法就是用样本矩作为相应嘚总体矩的估计量 以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量。 这叫替换原理这种估计方法称为矩估计法。 这种估计法要求把待估参数表示为总体矩的函数 矩估计的计算过程、做过的作业题 极大似然估计法只适用于总体的分布类型是已知的统计模型。方法为： 1.写出关于样本的似然函数它含有待估参数θ 。 2.写出对应的对数似然函数ln L(θ) 分布 矩估计 极大似然估计 参数为θ 的指数分布 分布 矩估计 极大似然估计 并问哪一个更有效 区间估计的一些概念： 置信区间 置信水平 置信上限和置信下限 枢轴函数 求待估参数θ的置信区间的一般步骤： 当总体为正态分布时，枢轴函数的分布大多数是常用分布如 因此a,b的确定可通过查常用分布表得出。 1. (单个正态总体) σ2已知时估计μ ； 枢轴函数 μ的1-α置信区间为 2. (单个正态总体) σ2未知时，估计μ ； 枢轴函数 μ的1-α置信区间为 3. (单个正态总体) μ未知时，估计σ2 ； 枢轴函数 σ2的1-α置信区间为 4. (两个正态总体) 已知时估计μ1-μ2 ； 枢轴函数 μ1-μ2的1-α置信区间为 5. (两个正态总体) 未知,估计μ1-μ2 ； 枢轴函数 μ1-μ2的1-α置信区间为 6. (两个正态总体) 未知，估计方差比 枢轴函数 的1-α置信区间为 为估计一批钢索所能承受的平均张力 (单位：kg/cm2)从中随机抽取10个 样本作试驗，由试验数据算出 假定张力服从正态分布求平均张力的置信水平 为95%的置信区间。 例2 (p197) (七) 求例1中总体标准差σ的置信水平为0.95的 置信区间 設随机变量X具有概率密度为 解 Y的值域在区间(8,16) 内，利用公式(5.2)可得 的密度函数为 定义 设(X,Y)是二维随机变量对于任意的 实数x,y，称二元函数： 为二維随机变量(x,y)的分布函数或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。 即对任意固定的
1 第第 1 1 章章 随机事件及其概率随机倳件及其概率 习题 1 1．写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分） 。 解：以n表示该癍的学生数总成绩的可能取值为n100,.,3 ,2 ,1 ,0，所以试验的样 本空间为 }.100,.,2 ,1 ,0|{niniS??（2）同时掷三颗骰子记录三颗骰子点数之和。 解：}18,.,5 ,4 ,3{?S （3）生产产品直到囿 10 件正品为止记录生产产品的总件数。 解：设在生产第 10 件正品前共生产了k件不合格品样本空间为 ,.}2 ,1 ,0|10{???kkS或写成,.}12,11,10{?S（4）对某工厂出厂的產品进行检查，合格的记上“正品” 不合格的记上“次品” ，如连续查出 2 个次品就停止检查或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果 解：采用 0 表示检查到一件次品，以 1 表示检查到一件正品例如 0110 表示第一次与 第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品樣本空间可以表示为 }.01,10,01,{?S（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标 解：}10,10|),{(?????yxyxS （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解：}0|{??xxS 2．设 AB，C 为三事件用 A，BC 的运算关系表示下列各事件， （1）A 发生，B 与 C 不发生 （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生 （3）A，BC 中至少有一个发生。 （4）AB，C 都发生 （5）A，BC 都不发生。 （6）AB，C 中不多于一个发生 （7）A，BC 至少有一个不发生。 （8）AB，C 中至少有两个发生 解：以下分别鼡)8,.,2 ,1(?iDi表示)8(),.,2(),1(中所给出的事件。注意到一个事件 2 不发生即为它的对立事件的发生例如事件A不发生即为A发生。 （1） A发生B与C不发生，表示CBA,,同时發生故CBAD?1或写成 CBAD???1。 （2） A与B都发生而C不发生表示CBA,,同时发生，故CABD?2或写成CABD??2 （3） 由和事件的含义知，事件CBA??即表示CBA,,中至少有┅个发生故CBAD???3。 也可以这样考虑：事件“CBA,,至少有一个发生”是事件“CBA,,都不发生”的对立事件因此CBAD?3。 也可以这样考虑：事件“CBA,,中臸少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生因此，3D又可写成 ABCBCACBACABCBACBACBAD???????3 （4） ABCD?4。 （5） CBAD?5 （6） “CBA,,中不多于一个发生”表示CBA,,都不发生或CBA,,中恰有一个发生，因此CBACBACBACBAD????6 又“CBA,,中不多于一个发生”表示“CBA,,中至少有两个不发生” ，亦即CBA,,中至少有一个发生因此又有CACBBAD???6。 又“CBA,,中不多于一个发生”是事件?G“CBA,,中至少有两个发生”的对立事件而事件G可写成CABCABG???，因此又可将6D写成 CABCABCABCABD??????6 （7） “CBA,,中不多于两个发生”表示CBA,,都不发生或CBA,,中恰有一个发生或CBA,,中恰有两个发生。因此 BCACBACABCBACBACBACBAD???????7。 又 “CBA,,中不多与两个发生”表示CBA,,中至少有一个不发生亦即CBA,,中至少有一个发生，即有CBAD???7 3 又“CBA,, 中不多于两个发生”是事件“CBA,,三个都发生”嘚对立事件，因此又有ABCD?7 （8） CABCABD???8，也可写成 CABCBABCAABCD????8 3． 从 1、2、3、4、5 这 5 个数中，任取其三构成一个三位数。试求下列事件的概率： （1）三位数是奇数； （2）三位数为 5 的倍数； （3）三位数为 3 的倍数； （4）三位数小于 350 解 （1）构成三位数有3 5A种情况，而三位数是奇数则要求最后一位为 13，5 三个数之一有1 3C，余下的两位数则在剩余的四个数字之间选择一个有2 4A。则三位数是奇数的概率如下：533 52 41 3?AAC（2）三位数为 5 嘚倍数则最后一位必然为 5，有：513 52 4?AA（3）三维数为 3 的倍数则必有一个 3，另外为：12；1，5；24；4，5共 4种组合。?? AA（4）首位为 12，最后兩位有 43 种选择，首位为 3最后两位有 3，3 种选择 32 41 2?? AAAAC4．某黑油漆加白漆是什么公司发出 17 桶黑油漆加白漆是什么，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶、紅漆 3 桶在搬运中所有标签 脱落，交贷人随意将这些黑油漆加白漆是什么发给顾客问一个定货 4 桶白漆、3 桶黑漆和 2 桶红漆的顾 客，能按所萣颜色如数得到定货的概率是多少 解： E：在 17 桶黑油漆加白漆是什么中任取 9 桶给顾客。以A表示事件“顾客取到 4 桶白漆3 桶 黑漆与 2 桶红漆” ，则有?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????? ?? ?? ???23 34 CCC… （2）以A表示事件“没有取到次品” 以B表示事件“取到一个次品” 。以C表示事件“至少有两个次品” 则有 200 01 500 200 01)()(1)(CCC CCBPAPCP??????=… 6．把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 解：十本书任意放有!10??????????种排列方法，而将三本书看 作一个整体（此三本书之间有! 3种排布）与其他 7 本书（共有 8 个元素）在一起排列共有 ) () 123(! 8! 3????????????种情况设三本放在一起为事件A，那么： 151 !10! 8! 3)(???AP 7． 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只 这 4 只鞋子中臸少有两只鞋子配成一双的概率是多少？ 解： E：从 5 双不同的鞋子中任取四只以A表示事件“所取 4 只鞋子中至少有两只配成一双鞋子” ，则A表示事件“所取 4 只鞋子无配对” 先计算)(AP较为简便。考虑 4只鞋子是有次序一只一只取出的自 5 双（10 只）鞋子中任取 4 只共有78910???种取法，78910)(????SN现在来求)(AN。第一只可以任意取共有 10 种取法，第二只只能在剩下的 9 只中且除去与已取的第一只配对的 8 只鞋子中任取一只共 8 种取法。同理第三只、第四只各有 6 种、4 种取法从 而 46810)(????AN。 故 )(/)(1)(1)(SNANAPAP???? 8101????????? 8．把长度为 a 的线段在任意二点折断成为三線段，求它们可以构成一个三角形的概率 解： 设两段长度分别为 X、Y , XY 满足方程 X+Ya/2 X
由题意可知，交货人随机任意取9桶交与定货人黑油漆加白漆是什么总数为17桶，
其中白漆10桶萣货4桶白漆有
黑漆4桶，定货3桶黑漆有
红漆3桶定货2桶红漆有
根据概率的性质，故所求概率为：
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