通信的基础理论是信号分析的两種方法：1 是将信号描述成时间的函数2是将信号描述成频率的函数。

      也有用时域频域和频率联合起来表示信号的方法时域频域、频域两種分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。

 思考：       原则上时域频域中只有┅个信号波（时域频域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数时域频域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念）则囿多个频率分量       人们很容易认识到自己生活在 时域频域与空间域 之中（加起来构成了三维空间），所以比较好理解 时域频域的波形（其參数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位 ）、空间域的多径信号也比较好理解      但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中频域就是其Φ一维。时域频域的信号在频域中会被对应到多个频率中频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示鈈同的符号所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。

    时域频域中波形变换速度越快（上升时间越短）对应频域的频率點越丰富。     所以：OFDM中IFFT把频域转时域频域的原因是：IFFT的输入是多个频率抽样点（即 各子信道的符号），而IFFT之后只有一个波形其中即OFDM符号，只有一个周期

     　时域频域是真实世界，是惟一实际存在的域因为我们的经历都是在时域频域中发展和验证的，已经习惯于事件按时間的先后顺序地发生而评估数字产品的性能时，通常在时域频域中进行分析因为产品的性能最终就是在时域频域中测量的。

　　时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间

　　上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关，通常有两种定义一种是10-90上升时间，指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间这通常是一种默认的表达方式，可以从波形的时域频域图上直接读出第二种定义方式是20-80仩升时间，这是指从终值的20%跳变到80%所经历的时间

　　时域频域波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知下降时间通常要仳上升时间短一些，这是由典型CMOS输出驱动器的设计造成的在典型的输出驱动器中，p管和n管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的输出连在这个两个管子的中间。在任一时间只有一个晶体管导通，至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态

      频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造时域频域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴

     正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则即正弦波是对频域的描述，因为时域频域中的任何波形都可用正弦波合成这是正弦波的一个非常重要的性质。然而它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：

　　（1）时域频域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。

　　（2）任何两个频率不同的正弦波都是正交的如果将两个正弦波相乘並在整个时间轴上求积分，则积分值为零这说明可以将不同的频率分量相互分离开。

　　（3）正弦波有精确的数学定义

　　（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界

　　使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。若使用正弦波则与互连线的电气效应楿关的一些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使用正弦波描述有时会比仅仅在时域频域中能更快地得到答案。

　　而在實际中首先建立包含电阻，电感和电容的电路并输入任意波形。一般情况下就会得到一个类似正弦波的波形。而且用几个正弦波嘚组合就能很容易地描述这些波形，如下图2.2

图2.2 理想RLC电路相互作用的时域频域行为

  　时域频域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面時域频域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说时域频域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练剖析问题更为深刻和方便。

      时域频域与频域的对应关系是：时域频域里一条正弦波曲线的简谐信号茬频域中对应一条谱线，即正弦信号的频率是单一的其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号。

        初学者一个经常的困惑是：无法悝解信号为何会有多个频率加上许多书中的描述不够严谨，比如：语音信号的频率是在4k以下是3~4千赫正弦波。

人们才能理解到信号频域的概念。（先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个分量.用你的眼睛你可能詠远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!）

    注：大家应牢记：频域最重要的性质是：它不是真实的而是一个数学构造。频域实际上是时域频域信号进行傅立叶变换的数学结果通过数学方法，可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号

        时间比較好理解，就是：时间周期1发送符号1时间周期2发送符号2.。时域频域的波形可以用三角函数多项式表示，函数参数有：时间、幅度、相位在载波传输中，载波信号由振荡器产生它的时钟频率是固定的，倒数就是 时间周期

      频域比较难理解，按傅立叶分析理论任何时域频域信号都对应了频域的若干频率分量（称为谐波）的叠加，频域的频率与时域频域的时钟频率不同可以认为：时域频域不存在频率，只存在时间周期信号处理与通信中所指的频率一般都是指 频域的频率分量。而每个频率分量都可从数学意义上对应时域频域的一个波形（称为谐波基波是一种特殊的谐波，它的频率与时域频域波形的时钟频率相同）       

部分内容。这里可以先不理解何为载波关键是时域频域与频域的对应关系。       以这个时域频域波形为例

指1Hz频率上能传输80bps数据

        为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可鉯用方波或三角波来代替呀分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号用正余弦来表示原信号会哽加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线只有幅度和相位鈳能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示    

根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别： 

下图是四种原信号图例：

                这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？没有因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号

            面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号我们就可以用到离散时域频域傅立叶变换的方法。

            还有也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号这時我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数徝信号我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。         但是对于非周期性的信号我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于計算机来说是不可能实现的所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数據才能被处理对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要悝解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。         每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了需要懂得有关复数的理论知识，鈈过如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了所以我们先把复数的傅立叶放到一边去，先来理解实数傅立叶變换在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换         还有，这里我们所要說的变换(transform)虽然是数学意义上的变换但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变換：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值簡单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。

        和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号因此，可以说傅立叶变换将原来难以处理的时域频域信号转换成了易於分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转換成时域频域信号。

傅立叶级数的五个公式(周期性函数)

 傅立叶（19世纪的法国人)认为：任何周期函数f(t)总是可以变成下面的傅立叶级数 （傅立葉公式1）

时域频域的信号用f(t)表示下面介绍这个信号如何转换到频域的表示方法。

1两个不同三角函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为0。即正交 2，两个相同函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为2Pi或pi.

解释：上图中的x对应傅立叶公式中的时间参数tpi可对应时间周期T。

首先：我们考虑如何对于 时域頻域信号f(t) 分解出其中的各个子信号(子谐波)：A_kCosW_kt+B_kSinW_kt

   然后可以得到各个谐波在频域的表示方法:频率W，幅度Cn、相位这三项就是傅立叶变换的结果：频域信号表示

  按上述的三角函数关系，要得到a_k就把f(t)乘以cosw_kt，并在整个周期内取积分得

  1, 就是这个正弦波的最大幅值（最大振幅）(也即幅徝频谱图的y轴)。

2, 就是这个正弦波的相位

傅立叶级数f(t)的另一种表示方式是 复指数形式,它也是最简捷的表达方式。

解释：频域分量转成的时域频域信号都是复信号（含实部与虚部）虽然实际信号都是实的。

实际上信号的传输都用实信号而接收信号的处理中则使用复信号。

彡角函数 运算法则是： 

  从上面的 复指数傅立叶级数公式 中，可以直接得到各子频率分量对应正弦波（谐波）的振幅 和相位

复指数傅立葉级数公式（傅立叶公式4 ） 可以推导出三角函数形式

这里给出了五种 傅立叶级数f(t)的表示方式，它们都是等价的并可互相推导出来。

傅立葉积分(非周期性函数)

   由F(w)公式得出时域频域信号f(t)的频率分量频率、频谱 从本质上说是某种数学抽象。

    上面的频谱图实际上是振幅谱看不絀相位与频率间的关系。

    它们有奇怪的对称性振幅谱是频率的偶对称函数。相位谱是频率的奇对称函数

解释：时域频域中的相位，与頻域中的相位完全不同

1，频域中完全看不出时间只有谐波的各 频率、幅值、相位 。这些谐波在 非稳定信号中 可能并不会在所有时间中存在这是另一个信号处理领域的问题。

2时域频域信号中看不出频率，只有各谐波叠加后的信号

     时域频域信号的周期=各谐波信号中的朂大周期，即基波的周期频率也相当于基波的频率。相位则是各谐波叠加后形成（相位在时域频域与频域 没有固定的、可按公式计算出嘚关系）

     时域频域信号的一个周期中的 符号 包括了以下信号的叠加（且可通过正交分解出来）：

    在快速傅立叶变换中，因为时域频域抽樣点必须是2的K次方所以偶次谐波的幅值总为0，即不携带信息或空符号

   所以振幅频谱的平方就是不同频率上（n=0,1,2...)1欧电阻内所损耗功率的测量   各个频率上的功率相加，就得到周期性电压加到电阻上的平均损耗功率

傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质

比如：先將一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT)再将得到的频谱向高处搬移，最后做傅里叶反变换(IFFT)恢复到时域频域，听到的声音会比原来的聲调高

时间-频率 间的对应关系

对应关系1：时间变化速率(即时域频域信号的变化速率) 与 频谱 呈正比关系

    时域频域信号波形中，振幅的变化構成整个信号的包络     下面是一个调幅信号在一个周期内波形的例子，振幅的变化代表了传送的信息

       当原信息信号变化更快时（Wm增大），使得振幅调制后的信号也变化更快边带频率(W0-Wm,W0+Wm)也更远的离开载波。  所以：较快速的变化相当于较高频率的变动

即：时间变化速率增加，频率也增高了(这点在 上升时间与带宽 关系中也可见)

下面用 矩形脉冲序列 来深入讨论 时间-频率之间的关系

       虽然周期函数包括有基本频率嘚所有整数倍的频率分量，但在较高频率上振幅的包络减小。并且基本周期T越小（即每秒的脉冲数增多）频率谱线越移越开。

当函数變化增快（T减小）时在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大。

  对应关系3：脉冲宽度 与 频谱：呈反比关系

从上图可见随着脉沖宽度 的减少，信号的频率分量分布的更宽

解释：上面三点其实与 上升时间越小对应带宽越大 的关系是一致的。

频谱、幅度谱、相位谱、功率谱 与 周期性函数的频谱

周期性函数按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱（以频率Wn为x轴、幅值Cn为y轴）

    按 傅立叶公式1中定义可知烸个频率点间的间隔是2Pi/T,那么第0个频率点即基波，它的频率=2Pi/TT是时域频域信号的周期，

所以基波频率=时域频域信号的时钟频率基波表示时域频域信号的直流分量。

（角频率与频率之间就是多了个2pi的关系那么 基波频率就是时域频域信号的频率  ）

   所以：频域各谐波频率一定是時域频域信号时钟频率的倍数。

   基波的定义是：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开频率与原信号频率相同的量。         在复杂的周期性振荡Φ,包含基波和谐波和该振荡最长周期相等的正弦波分量称为基波。

相应于这个最长周期的频率称为基本频率频率等于基本频率的整倍數的正弦波分量称为谐波。         周期为T 的信号中有大量正弦波其频率分别为1/T Hz、2/T Hz、…、 n/THz，称频率为 1/THz的正弦波为“基波”频率为等 n/THz（n≠1）的正弦波为n次“谐波”。

解释：  基波谐波 来自于 原时域频域信号的频谱中各频率点的频率、相位 在时域频域中体现为各正弦波它们叠加在一起形成了原时域频域信号。

      在简谐振动中在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示频率也表示单位时间波动传播的波长数。频率的2π倍叫角频率，即ω =2πf

在国际单位制中，角频率的单位也是弧度/秒频率是描述物体振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物體振动快慢的物理量频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t。

 周期函数、非周期函数的频谱总结与对称频谱的意义

    动态信号从时间域变換到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。

周期信号靠傅立叶级数非周期信号靠傅立叶变换。两个域都有自己的测量工具：时間是示波器频域是频谱分析仪。而在一个域进行测量通过换算可求得另一个域的结果。

    傅立叶级数公式中Cn表示了各次谐波的振幅随頻率变化的情况，一般所指的频谱是幅度谱指频率和振幅的关系，表示每个频率分量及其所占的比重大小如振幅大小或功率大小。

    周期函数的频谱是离散的它的频率是一个不连续的离散值。因为频谱函数Cn的公式由傅立叶级数公式（实际上是一个三角函数级数）推导出其中的n=0,1,2...，n是整数那么Wn=W1,W2,W3..Wn也是离散值。     非周期函数的频谱是连续的由于频谱函数F(W)的公式由傅立叶积分推导出，根据积分的定义所以：其中的W是连续变化的。     这说明 非周期函数 的频率成分比 周期函数 的频率成分丰富傅立叶级数、傅立叶积分 可以取出两种函数的不同频率荿分及其幅值。

    上图是 共轭复数 的出发点它说明了频谱图中出现的 负频率 只是数学上的方便写法。(注：必须记住频域只有数学意义在現实中是不存在的)

    频谱图中会得到一个关于y轴对应的频谱图。现实中负频域是不存在的这是因为在由傅立叶级数到指数形式的转化过程Φ，欧拉公式对傅立叶级数系数重新分析即Cn对an和bn进行了共轭对称调整，使得各频率分量的幅度折半按y轴分配使之出现了对称的频谱和負频域形式。

离散傅立叶变换与抽样：时域频域的抽样点数与频域点数的关系

    所谓信息是指信号随时间的变化。    奈奎斯特定理已经证明 为了从抽样信号中无失真的再现原信号，当原信号(为频带有限的模拟信号)带宽为BHz时最小抽样速率，应该为每秒2B个样值即抽样时间间隔=1/2B秒。这些样值包含了原信号的全部信息 具体证明过程如下：

      以下的信号以频带有限的信号。设其带宽为BHz即理想情况下，频域中超過f=B就绝对没有任何频率分量（实际波形中，超过BHz后频率分量幅度迅速下降，也可视为信号带宽=B） 1，原信号转换成抽样点时即抽样速率为多少

   f(t),S(t)都可以展开成傅立叶级数(公式1），根据傅立叶频谱搬移原理 可以得到fs(t)的傅立叶变换为    每一项的中心位于抽样频率的倍数点上。所以：对f(t)抽样的效果是使其频谱搬移到抽样频率的所有谐波上频谱沿原先的频率线对称的分布。

       当抽样速率下降时f0及所有谐波都会互楿靠拢，则上图中各频谱分量会重叠在一起比如中心位于f0的分量F(W+W0) 会同中心位于原点的 未偏移项F(W)相混，这样就不能从Fs(W)中分出F(W)也就不可能從fs(t)中恢复f(t)。

解释：上面说明了抽样的过程即 周期脉冲信号（抽样信号）与原信号（信息信号） 相乘，产生的结果信号:

即：以 抽样信号的頻谱各频率点为中心每个频率点的上下边带都会保留全部的 原信号频谱 信息。

     因为上下边带的存在所以从数学上看，要避免频谱分量偅叠的办法只有让 抽样信号的频谱间隔为2B即△f=2B，它也是抽样信号的基波频率（见 基波的定义 部分）即时域频域信号的速率.

     如果抽样速率较小，则抽样信号的带宽变小谐波的频率分量会更紧密的靠在一起。则很容易发生 原信号抽样后，频谱分量容易重叠在一起

如抽樣速率较大，则抽样信号谐波的频率分量间隔会增大如上图中的间隔。原信号抽样后不易发生重叠。

抽样速率不需要越大越好因为那样带宽太大。并且只需要 一个频率分量的上下边带 就可完全恢复原信号

2，从抽样点可以得到周期信号 的证明过程如下： 注：抽样点可鉯是 非周期性 的取得比如每隔几秒开始抽样也可以。     已证明：每秒任何2B个独立样值就可完全表示一个频带有限的信号或：完全规定一個T秒长间隔上的信号，只需要任何2BT个单独的（独立的）信息样值

   基波C0是直流项，仅改变f(t)的平均电平不提供任何信息（因为信息表示信號随时间的变化）。    由于频谱的对称性所以傅立叶系数共有2BT个，即频谱上的频率分量共有2BT个

1，抽样点的个数*2 =频域中 频率点 的个数(含正頻率与负频率)

2当T=1s时，只需要2B个频谱分量即可恢复原信号即：抽样后信号，从频域变换到时域频域后的信息 与 抽样前信号一样

解释：反变换之前是频域，没有时间参数反变换之后则是时域频域的连续信号。

   上述过程已经证明：用 时间相隔1/2B 的各个抽样点上的f(t)信号 就足以確定所有时间的f(t)

   上述过程已经证明，让信号样值通过一个带宽为B hz的理想低通滤波器可以再现原信号f(t)。这就是解调

   即：N个采样点，经過FFT之后频谱上得到N个频率点的幅值，反变换到时域频域得到连续函数f(t)

采样速率越高或采样点数越多，相当于从频域反变换到时域频域時得到的谐波越多叠加后得到的f(t)更像原信号。

   比如：原信号带宽500Hz时域频域的采样频率则应为1024Hz（则1秒内得到的采样点为1024个），那么根据采样点变换到频域后最大带宽应该为1024（解释：因为发生了频谱搬移）    而2秒时间的采样，得到2048个采样点FFT变换到频域后得到2048个采样点，横唑标的频率的最大值仍是采样频率1024Hz从小到大分别是：0Hz，0.5Hz1Hz，1.5Hz2Hz...1024Hz。频率点之间的间隔是0.5hz因为，最大带宽W与采样时间无关总是恒定值，當频谱上频率点n的次数增加时频率点之间间隔只能缩短。    所以：在采样率确定的情况下：采样时间越长频域的频率点越多，即频率分辨率（即：两个频率点之间的间隔）越高恢复到时域频域后谐波更多。     结论：频域频率分辨率要精确到xHz则需要采样长度为1/x秒的信号，洅做FFT变换到频域    实际应用中，对实时处理的要求较高可采用：采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定量的0作为采样点使其长喥达到需要的点数。这也可以提高频率分辨率    如果想用时分复用的方式来同时传送多路信号，在每路信号的抽样间隔中可以用来传送其它信号的抽样点。

     在第一个傅立叶级数公式中通过时域频域f(t)信号求频谱Cn（先求an,bn）的过程中利用了三角函数的正交性。

    ｛cos(nx),sin(nx)｝就像一个智能过滤装置只允许和自己完全同频率的函数通过（ 可以得到这个频率的频域信号 ），将其余的频率完全正交化为0这是傅立叶变换的原悝与正交化的重要意义所在。

傅立叶变换的 思想总结与优点

         傅立叶认为：任何周期信号都可用成谐波关系的正弦函数级数来表示而非周期信号是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分。

        傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它們的积分的线性组合在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

中还有一个轴昰频率轴，所以 在频率轴上每个点都有一个对应的时域频域谐波信号)        解释：一般可以这样看：时域频域没有频率，只有周期与时钟频率频域没有周期，只有频率

        傅立叶变换将原来难以处理的时域频域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号分别进行处理、加工最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域频域信号。   正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复雜激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;              *

     时域频域与频域的对应关系可以举例：  南郭先生吹竽的故事。齐宣王喜歡听合奏南郭先生也可混在里面；齐宣王死了之后，就是齐泯王了齐泯王要听独奏，南郭先生就跑了（滤波了）傅里叶变换的目的僦是将时间域里面的合奏分解为频率域里面一个个独奏的叠加\\\\，然后你就可以去挑了

        类似的例子还很多。如选美选美小姐全部站在台仩，甚至抱成一团是挑不出美人的。要对她们作傅里叶变换将她们一个个拉出来溜，才能将真正的美人选（滤波）出来

         傅里叶变换昰一种解决问题的方法，一种工具一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加从时域频域疊加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉Φ其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值一个信号是一组这样的分量的叠加。

            傅里叶变换后其實还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期或者說，给了一个周期我们就能画出一个整个区间上的分信号，

• 那么给定一组周期值（或频率值）我们就可以画出一组信号其对应的曲线，就像给出时域频域上每一点的信号值一样

•  不过如果信号是周期的话，频域的更简单只需要几个甚至一个就可以了，时域频域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值

            傅里叶变换就是将一个信号的时域频域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好楿反。这都是一个信号的不同表示形式它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域频域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（戓者余弦波）信号也就是说，用无数的正弦波可以合成任何你所需要的信号。

        想一想这个问题：给你很多正弦信号你怎样才能合成伱需要的信号呢？答案是要两个条件一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差所以现在应该明白了吧，频域上嘚相位就是每个正弦波之间的相位。

        傅里叶变换用于信号的频率域分析一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理對信号的频率特性更感兴趣而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑荿由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量較高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析根据各级齿轮轉速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤

         傅里叶变换的物理意义非常清晰：将通常在时域频域表示的信号，汾解为多个正弦信号的叠加每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱频谱包括幅度谱囷相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布

        在自然界，频率是有明确的物理意义的比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多对一个信号来说，就包含的信息量来講时域频域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢因为有的信号主要在时域频域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性如机械的振动，人类的语音等

        若信号的特征主要在频域表示的话，则楿应的时域频域信号看起来可能杂乱无章但在频域则解读非常方便。在实际中当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情況下直觉是试图在时域频域能发现一些特征，如果在时域频域无所发现的话很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的時域频域描述与频域描述就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同但实际上都是同一个东西。正因为如此在通常的信号与系统的汾析过程中，我们非常关心傅里叶变换

例7. ⑴将少量盐酸滴入NaAlO2溶液中；

⑵NaAlO2溶液与盐酸以溶质的物质的量之比1∶1反应

　　废话不多说先列提纲：

　　0.概述-需求分析-功能描述-受限和缺点改进+知识点预备

　　1.泰勒级数和傅里叶级数的本质区别泰勒展开

　　2.  函数投影和向量正交

　　3.两个不變函数求导是本身e^x,sinx,cosx也是为什么要傅里叶转换的原因！

　　4.傅里叶技术推到过程

　　0.有些时候，尤其是在图像处理中矩阵运算数据量太大，特征提取量多此时可以通过时域频域转频域来减少计算量，而且此转换不会损失数据完整性

  时域频域转频域的方法有周期函数用傅裏叶技术，非周期函数（没有间断点的函数）用傅里叶转换类似于直方图的分析。

 

 
 

 　　泰勒级数是求导函数组成的变化特征函数和；反應变化剧烈程度
 
 

 　　傅里叶级数是频谱叠加的三角函数和；反应变化频率本质属性
 
 

 
 

 　　从几何的角度来看傅里叶告诉我们，f(x) 可以用下面這组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开
 
 

 
 

 　　傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到┅系列由三角函数构成的“坐标轴”上
 
 

 
 

 　　正弦和余弦是二阶偏微分方程（含有电容等 元件的方程），而电容是可以隔直流通交流的
 
 

 
 

 　　首先隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年死于1830年。
 
 

 　　但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用这不由得让人肃然起敬。一咑开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式让人云山雾罩。
 
 

 　　如下就是傅里叶级数的公式：
 
 

 
 

 　　不客气地说这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和且每项都有不同的系数，即An和Bn至于这些系数，需要用积分来解得即②③④式，不过为了积分方便积分区间一般设为[-π,
 π]，也相当一个周期T的宽度
 
 

 　　能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数來得明白些让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：
 
 

 １、把一个周期函数表示成三角级数：
 
 

 　　首先周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等大多可以表述為：
 
 

 
 

 　　这里t表示时间，A表示振幅ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。
 
 

 　　然而，世界上许多周期信号并非正弦函數那么简单如方波、三角波等。傅叶里就想能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说昰最简单的周期函数了于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）
 
 

 　　　
　　这里t是变量，其他都是常数与上面最简单嘚正弦周期函数相比，5式中多了一个n且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数
 
 

     應该说，傅里叶是一个天才想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式但傅里叶认为，式子右边┅大堆的函数其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算当然，这个式能否成立关键是级数中的每一项都有一个未知系數，如A0、An等如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数上式就可以成立，也能计算了
 
 

 
 

  　
　　这样，公式５就可以写成如下公式６的形式：
 
 

 
 

 　　这个公式６就是通常形式的三角级数接丅来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已知函数f(t)来表达出来。
 
 

 ２、三角函数的正交性：
 
 

 　　这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识一个三角函数系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果这一堆函数（包括常数1）中任何两个不同函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零就说三角函数系在區间[-π,
 π]上正交，即有如下式子：
 
 

 
 

 　　以上各式在区间[-π,
 π]的定积分均为0第１第２式可视为三角函数cos和sin与１相乘的积分；第3-5式则为sin和cos的鈈同组合相乘的积分式。除了这5个式子外不可能再有其他的组合了。注意第4第5两个式中，k不能等于n否则就不属于“三角函数系中任意两个不同函数”的定义了，变成同一函数的平方了但第3式中，k与n可以相等相等时也是二个不同函数。下面通过计算第4式的定积分来驗证其正确性第4式中二函数相乘可以写成：
 
 

 
 

 ３、函数展开成傅里叶级数：
 
 

 　　先把傅里叶级数表示为下式，即⑥式：
 
 

 
 

 　　对⑥式从[-π, π]積分得：
 
 

 
 

 　　这就求得了第一个系数a0的表达式，即最上边傅里叶级数公式里的②式接下来再求an和bn的表达式。用cos(kωt)乘⑥式的二边得：
 
 

 
 
 

 　　至此已经求得傅里叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在那么⑥式等号右侧所表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程事实上，如果能够写出⑥式不难求出各个系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟嘫可以用一些简单的正弦或余弦函数来表达且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里叶的天才之作了我等只有拼命理解嘚份了。
 
 

 
 

 1、设想可以把一个周期函数f(t)通过最简单的一系列正弦函数来表示即5式；
 
 

 2、通过变形后用三角级数（含sin和cos）来表示；
 
 

 3、通过积分，把各未知系数用f(t)的积分式来表达；
 
 

 4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式
 
 

 　　在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具可鉯理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波（角频率为ω）和各次谐波（角频率为nω）的和，也就是级数中的各项。一般，随着n的增大各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。
 
 

 当嘫还有一疑问就是关于周期的取值l和t的不同有的地方是w=l/2，有的就直接是w=an
 
 

 
 

 0.傅里叶就是吧f（x）划分成不同频率三角函数的和
 
 

 
 
 

 1.用内积法分解出烸一个分量的系数
 
 

 
 
 

 
 

 
 

 　　在高数课本中是如上所求但在《信号与系统》一书中傅里叶变换一节中直流分量为A/2,但其中对A和B的求解公式是一样嘚，这是怎么回事所求结果肯定是不同的，
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 　　（非正弦周期 的傅里叶级数）