希腊的哲学家芝诺曾经辩论說一支箭永远不能达到它的目标。他说首先箭要到达目标距离的一半，然后又必须到达剩余距离的一半然后还有一半，这样就没有窮尽因为这个旅程有无限个部分，所以箭要花费无限的时间才能结束这个旅程这就是“芝诺悖论”。芝诺的结论是——时间是不存在嘚尽管他自己也不相信这个结论。这个问题看似诡异但在数学面前，神秘荡然无存破解问题的关键就是什么叫无穷级数收敛。

　　紦芝诺问题用数学表达就是：

　　其实很早就有人揭开了悖论的谜底先将等号两边同时乘以a：

　　所以芝诺问题的最终答案是1。需要注意的是只有当 -1 < a < 1时上述公式才成立，否则结果将是发散的

　　对于和几何级数类似的和式，用数学符号表示：

　　称S_N为部分和当N→∞時，和式就是无穷极限：

　　无穷极限S的结果可能是收敛的有可能是发散的。

　　我们感兴趣的第一个问题是什么叫无穷级数收敛的收斂性

　　上式的收敛性没有那么明显，应当如何判断

　　仔细观察上式会发现，它和黎曼和及其类似如果Δx =1，那么

　　需要注意的嘚二者接近但并不相等，积分处理的是当Δx→0的情况

　　对于黎曼和，如果当Δx = 1时使用左矩形公式（数值积分可参考《》）则：

　　如果使用右矩形公式，则：

　　由于lnN是发散的所以S_N也是发散的。

　　上面的例子展示了和式和积分的关系这样描述“积分比较法”：如果f(x)是减函数，且f(x) > 0则：

　　和式和积分的收敛性一致。

　　积分比较的基本思想就是用积分代替和式因为和式通常很难计算，但和式对应的积分往往很容易所以需要化繁为简，这也是数学的基本思想

　　当积分法和极限法出现困难时，比值法将是一个值得尝试的方案对于∑a_n，a_n > 0 来说

　　如果L < 1，∑a_n是收敛的；如果L > 1∑a_n是发散的；如果L = 1不能使用比值判别法。

　　判断下面三个式子的收敛性：

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