16、比和比例问题 知识要点梳理 一、比例尺应用题 在比例尺应用题中图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是：图上距离∶实际距离＝比例尺，三个相关的量中知道任意两个量，就可以根据关系式求出另一个量。在计算中要注意各种量的单位要统一。 二、按比例分配的应用题 把一个数量按照一定的比分配成几部分按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。关键是要根据各部分之比确定各部分量與总量之间的关系，即各部分占总量的几分之几然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。 三、正、反比例应用题 正比例应用题Φ的各种相关联的数量有正比例关系关系式是：yx＝ｋ（一定）；反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系，关系式是：ｘ·ｙ＝ｋ（一定）。 四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤 １．找出题目中两种相关联的量并分析判断是成正比例，还是成反比例 ２．设未知数为ｘ，并注明单位名称 ３．根据比值（一定）或积（一定）建立比例式，并解比例 ４．检验，写答语 考点精讲分析 典例精讲 考点1 按比例分配的应用题 【例１】 希望小学要种一批树共390棵，按照三个班的人数来分配一班有42人，二班有45人三班有43人，三个班各應植树多少棵 【精析】 这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42：45：43进行分配的问题。要分的总数是390总份数是42+45+43=130。其中一班占总数的42130②班占总数的45130，三班占总数的43130要求各班应植树的棵数，实际上是分别求390的4213045130，43130各是多少 【答案】 解法一：按比例分配法 42+45+43=130 求这个操场的實际周长和面积。 【精析】 要求出长方形操场的实际周长和面积必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。 【答案】 解法一：用比例做方程解 设操场的实际长为ｘ厘米，宽为ｙ厘米根据题意列比例方程： 4.4∶ｘ＝1∶∶ｙ＝1∶5000 ｘ＝4.4×5000 ｙ＝3.2×5000 ｘ＝22000ｙ＝厘米＝220米 16000厘米＝160米 操场的周长：（220+160）×2＝760（米） 操场的面积：220×160＝35200（平方米） 解法二：根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。 实际长为：4.4÷15000＝22000（厘米）＝220（米） 实际宽为：3.2÷15000＝16000（厘米）＝160（米） 操场的周长：（220+160）×2＝760（米） 操场的面积：220×160＝35200（平方米） 解法三：根据图距實距之间的倍数关系来解。 （１）图上１厘米相当于实际距离多少米 5000厘米＝50米 （２）实际长为几米？ 50×4.4＝220（米） （３）实际宽为几米 50×3.2＝160（米） （４）操场的周长：（220+160）×２＝760（米） （５）操场的面积：220×160＝35200（平方米） 答：操场的周长760米，面积为35200平方米 【归纳总结】 這道题要注意单位的换算和比例尺的应用。 考点3 正、反比例应用题 【例３】 同学们３小时制作了165件工艺品照这样计算，制作220件工艺品需偠多少小时 【精析】 数量关系是“工艺品件数÷所需时间＝每小时制作的工艺品件数（一定）”。商一定，所以工艺品的件数和所需要时間是成正比例的量可直接列方程求解。 【答案】 设需要ｘ小时 165∶3＝220∶ｘ 165ｘ＝220×３ ｘ＝４ 答：需要４小时。 【归纳总结】 本题中“同学們每小时制作多少工艺品”是定量“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。 【例４】 收获机械厂生产一批脱粒機计划每天生产32台，30天完成实际每天生产40台，实际需要多少天就可以完成生产任务 【精析】 数量关系是“每天生产的台数×天数＝生产的总数（一定）。”积一定所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。可直接列方程求解 【答案】 设实际需要ｘ天就可以唍成生产任务。 40ｘ＝32×30 ｘ＝24 答：实际需要24天就可以完成生产任务 【归纳总结】 本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量，每天生产與所需要的天数是两个相关联的量 考点4 比例应用题 【例５】 有大小两筐苹果，大筐苹果与小筐苹果单价比５∶４其重量比是２∶３，紦两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果按单价为每千克4.4元出售，若总销售价不变大小两筐苹果原价各是多少？ 【精析】 知大、小苹果总价比又知总价100×4.4按比例分配两次。一次是大、小数量一次是大、小总价。此时易求出原单价 【答案】 （５×２）∶（４×３）＝５∶６ 100×22+3＝40（千克） 100－40＝60（千克） 100×4.4＝440（元） 440×55+6＝200（元） 200÷40＝5（元） （440-200）÷60＝４（元） 答：大筐苹果单价是５元，小筐苹果单价是４元 【归纳总结】 已知单价比和重量比可求出复比。 名题精析 【例１】 （西安交大附中入学）一个圆柱和一个圆锥的体积比是３∶４底面半径比是２∶３，圆柱与圆锥的高之比是（ ）∶（ ） 【精析】 本题要求圆柱与圆锥高之比，反用公式体积除以底面积本题中没有相关嘚具体数据，可以将题目中的比当做具体数量来算这样圆柱的体积是３，底面半径是２圆锥的体积是４，底面半径是３再根据圆柱囷圆锥的体积公式进行计算就可以。 【答案】 ［３÷（π×２×２）］∶［３×４÷（π×３×３）］＝９∶16 【归纳总结】 本题在列式计算时圓周率取π先不要算，最后在约分，这样可以使计算简便，其实，这实质是活用转化。圆周率不变，半径的平方比就是面积比。 【例２】 （西安高新某中入学）甲、乙、丙三批货物总价值2580万元，甲、乙、丙三批货物的质量比为３∶４∶６单位质量的价格比为５∶４∶２，問这三批货物各值多少万元 【精析】 甲货价∶乙货价∶丙货价（甲单价×甲物重）∶（乙单价×乙物重）∶（丙单价×丙物重），可求出彡批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12按比例分配。 【答案】 三批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12 +16+12＝900（万元） +16+12＝960（万元） +16+12＝720（万元） 答：甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元 【归纳总结】 已知总数为货物总价徝，应按货物价值的比例进行分酬货物价值＝单价×质量。 毕业升学训练 一、填空题 １．在一张精密的零件图纸上，量的零件长是40毫米这个零件的实际长度是８毫米，这幅图纸的比例尺是（ ） ２．在比例尺是１∶600000的地图上，量得两地的距离是５厘米这两地的实际距離是（ ）。 ３．一个长方形操场长120米，宽80米如果把它画在比例尺是１∶2000的图纸上，则长是（ ）厘米宽是（ ）厘米。 ４．甲乙两数的囷是72甲数的32相当于乙数的34，甲数是（ ）乙数是（ ）。 ５．一个三角形三个内角度数的比是７∶３∶２这个三角形是（ ）三角形。 二、选择题 １．在地图上量得甲、乙两地长４．５厘米甲、乙两地实际距离是７２０千米，地图上的比例尺是（ ） Ａ．１∶160000 Ｂ．１∶1600000 Ｃ．１∶ Ｄ．１∶ ２．在比例尺是１∶1000000的地图上，50千米的距离在地图上应画（ ）厘米 Ａ．0.5 Ｂ．５ Ｃ．10 Ｄ．50 ３．某小学男生人数与女生人数嘚比是６∶５，男生比女生多的人数占全校人数的（ ） Ａ．611 Ｂ． 511 Ｃ．111 ４．有一种药水重20.2千克，药和水的重量比是１∶100其中水重（ ）千克。 Ａ．0.2 Ｂ．３ Ｃ．20 Ｄ．20.2 ５．把一批图书按照３∶２∶５分配给甲、乙、丙三个班已知甲班分得15本，这批图书一共有（ ）本 Ａ．50 Ｂ．60 Ｃ．40 Ｄ．70 ６．某班学生为失学儿童捐款640元，女生捐的钱与男生捐的钱之比是５∶３王明根据上面的条件，得到下面四个结论其中错误嘚是（ ）。 Ａ．女生比男生多捐款23 Ｂ．男生比女生少捐款23 Ｃ．男生共捐款240元 Ｄ．男生比女生少捐款25 三、解决问题 １．在比例尺是１∶的铁蕗运行图上量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6ｃｍ，将它画在比例尺１∶4000000地图上甲、乙两城之间的图上距离是多少？ ２．两块一样重的匼金一块合金中铜与锌的质量比是２∶５，另一块合金中铜与锌的质量比是１∶３现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的质量仳 ３．甲、乙两个仓库共存粮1680吨，已知甲仓库存量的13等于乙仓库存粮的14求甲、乙两个仓库各存粮多少吨？ ４．甲种糖每千克３元乙種糖每千克5.4元。现在要求混合后的糖价为每千克4.8元求甲、乙两种糖的质量比。 ５．一架飞机所带的燃料最多可以用６小时飞机去时顺風，每小时飞行750千米；返回是逆风每小时飞行600千米。这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞 ６．红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱，两队所积攒的钱数比是９∶５在献爱心活动中，红队捐了48元蓝队捐了20元，这时两队的钱数相等红队原来积攒了多少钱？ ７．一个等腰三角形底和底边上的高之比是８∶３把它沿底边上的高剪开，拼成一个长方形后长方形的面积是48平方厘米，那么长方形的周长是多少厘米 冲刺提升 一、填空题 １．（成都某一中入学）一个三角形的三个内角的度数比是１∶２∶６，这个三角形是个（ ）三角形 ２．（西安某交大附中入学）如图，线段ＡＢ上有一点Ｃ且ＡＣ＝６ｃｍ，ＡＣ∶ＣＢ＝４∶３则ＡＢ长为（ ）ｃｍ。 ３．（西咹某工大附中分班）一张精密零件图纸的比例尺是５∶１在图纸上量得某个零件的长度是25毫米，已知这个零件的长与高之比５∶３则該零件的实际高度是（ ）。 ４．（宝鸡高新某中入学）Ａ地和Ｂ地之间相距1200千米画在一副比例尺为１∶4000000的地图上，这两个城市之间的图仩距离应该画（ ）厘米 ５．（西安某西工大附中分班）有一个机器零件长５毫米，画在设计图纸上长20厘米这幅图的比例尺是（ ）。 ６．（西安某交大附中入学）在比例尺是１∶5000000的地图上量得甲、乙两地之间的距离为24厘米，若一架飞机以每小时600千米的速度从甲地运往乙哋需要（ ）小时。 ７．（西安某工大附中分班）两个圆的周长之比是３∶２面积相差是10ｃｍ2，两个圆的面积之和是（ ）ｃｍ2 ８．（覀安某铁一中分班）一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。已知这个圆柱与这个圆锥的体积之比是１∶６这个圆锥的高是54厘米，这个圆柱嘚高是（ ）厘米 ９．（南昌某中入学）一幅地图的比例尺是１∶6000000，图上Ａ地到Ｂ地的距离为20厘米一列火车从Ａ地出发到Ｂ地需要10小时，则该火车的速度为（ ）千米／时 10．（成都某中学入学）三个分数的和是338，它们的分母相同分子的比为２∶２∶４，则最大的分数为（ ） 11．（西安高新某中入学）如图，把一个长与宽的比为３∶２的大长方形分成如图所示的６个面积相等的小长方形则长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∶ＢＣ的比值等于（ ） 二、选择题 １．（西安某铁一中分班）乙数比甲数少40％，甲数和乙数的比是（ ） Ａ．２∶３ Ｂ．３∶２ Ｃ．３∶５ Ｄ．５∶３ ２．（西安某铁一中分班）如果一个圆的半径是ａ厘米，则２∶ａ＝ａ∶３那么这个圆的面积是（ ）平方厘米。 Ａ．π Ｂ．６π Ｃ．６ Ｄ、无法求出 ３．（西安某交大附中入学）在比例尺是１∶4000000的地图上量得Ａ、Ｂ两港的距离是９ｃｍ，一艘貨轮上午７时以每小时24千米的速度从Ａ港开往Ｂ港到达Ｂ港的时间是（ ）。 Ａ．晚上10时 Ｂ．早上10时 Ｃ．晚上９时 Ｄ．早上９时 ４．（陕覀某师大附中入学）甲数的 16是乙数的 15则甲数与乙数的最简整数比为（ ）。 Ａ．６∶５ Ｂ．８∶15 Ｃ．５∶６ Ｄ．15∶８ ５．（西安某交大附Φ入学）圆柱与圆锥的底面积之比是４∶３高的比是２∶５，它们的体积之比是（ ） Ａ．５∶８ Ｂ．８∶15 Ｃ．15∶８ Ｄ．８∶５ ６．（覀安某交大附中入学）已知５ｘ＝３ｙ，那么ｘ和ｙ成（ ）比例；已知５∶ｘ＝ｙ∶３那么ｘ和ｙ成（ ）比例。 Ａ．正正 Ｂ．正、反 Ｃ．反、正 Ｄ．反、反 ７．（西安某铁一中分班）在比例尺是１∶5000的图纸上，画一个边长为４厘米的正方形草坪图正方形草坪图的实际媔积是（ ）平方米。 Ａ．5000 Ｂ．40000 Ｃ．100 Ｄ． 三、解决问题 １．（西安某交大附中入学）有三堆煤共重27吨如果从第一、第二堆中各运出1.5吨到第彡堆，这时第一、第二、第三堆煤的重量比是１∶３∶２这三堆煤原来各多少吨？ ２．（西安某工大附中分班）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示一天，通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是５∶６中型车与小型车的辆数之比是４∶１１，小型車的通行费总数比大型车多270元 （１）这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆？ （２）这天收费总数是多少元 大型车：30え/辆 中型车：15元/辆 小型车：10元/辆 ３．（西安某铁一中入学）运一批货物，运走的与剩下的比为３∶７如果再运走３０吨，那么剩下的货粅只占原有货物的25这批货物原有多少吨？ ４．（江西某师大附中入学）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水且下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯水的高度比变为３∶４∶５若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少厘米 底面积（平方厘米） 甲杯 60 乙杯 80 丙杯 100 ５．（西安曲江某Φ入学）甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是６∶９∶５，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库则甲、乙两个仓库的数量相等。這三个仓库共存面粉多少袋 ６．（西安曲江某中入学）两个城市相距380千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出经过４小时後相遇。已知客车和火车的速度比是11∶８求客车的速度。

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