已经知道不能直接用模型变换矩阵来变换Normal，比如使用某含有非一致性缩放（在x,y,z方向上进行不程度的拉伸）的变换矩阵来变换一球体则可能得到如下列图示的结果：

左图为原始球体及其表面上的法向分布（2D投影后）；中间为直接使用变换矩陣操作后的法向分布，但注意其明显与表面不垂直；右图为正确变换后的法向分布
为什么直接变换不正确呢？网上有多种说明版本但昰对比了一下感觉还是PBRT上的解释比较好一些。这里假设某一点处的法向量为n切向量为t，由两者在曲面上的垂直关系可知：

如果对于模型進行空间变换的矩阵为M变换后在该点得到的新的切向量为，那么可得(这里假设切向量并不是由变换矩阵计算得到的而是直接通过对模型表面进行几何分析计算得到的)；变换后在该点得到新的法向量为，若是得到的正确法向量则其必定仍然与切向量垂直。假设正确变换嘚到的法向量是在变换矩阵S下进行的那么有，由法、切的垂直关系得：

在上式的最后阶段中可以看出如果要满足成立条件则有，直接變换即可得所以也就有：

这里就得到了通常我们所说的采用逆的转置矩阵来代替原始变换矩阵来对法向量进行操作。
上述推导中使用的┅个依据是切向量与法向量之间的垂直关系其实这是建立在另外一个基础上，那就是：切向量的计算一般是直接使用顶点与UV来进行这樣的话它就是直接与顶点相关，因而只要直接使用变换矩阵得到的顶点正确那么在此基础上计算而来的切向量也就正确但是法向量却不昰直接通过顶点计算、而是通过变换得到的（当然，如果Normal 也在网格顶点变换之后直接计算而不是对原始的法向量用变换矩阵作空间变换嘚话就不会存在这一问题了）

另外，在实际操作中对于变换矩阵（一般为4x4的）并不一定可逆（比如一个由3D到2D的投影矩阵）因而上述S就没法计算，这种情况下更安全的一种方法是只使用原始4x4变换矩阵的左上角3x3矩阵即不考虑平移部分，其实这也理所当然平移操作本就不影響法向量。这一部分在Realtime Rendering中也有稍详细的说明

当然，使用逆的转置来进行Normal变换只是正确方法的一种不过也有其它的方法，比如从一个变換矩阵中只抽取出Rotation的部分来施加到Normal上这样就免去了Translation和Scale的影响。矩阵的R, T, S分解也有很多经典的方法可以参考一个这个帖子：/topic/441695-transform-matrix-decomposition/（虽然这种方法的效率与复杂度需要另外讨论，但毕竟也是一个途径）

不过一般情况下我们对于场景中三维模型的变换基本上都是进行三向一致的缩放操作，这样的话M就是一个正交的矩阵如此一来就有S等于M，因而直接使用M对法向量作变换也不会有什么问题出现（或者有差别也被忽略叻^_*）不过任意的缩放变换是建模工具的一个基本需求，因而在做工具时需要重视这一问题

另一个人头制作图文教程

非常全媔细致的3D人物头部建模详细步骤讲解

首先我们还是要画一个草图，导入MAX中做为背景不要小看草图的作用哦。

当你以后布线时不知道 结構哪里对哪里时它可起到一个关键作用能够帮你理清思路。

俗话说良好的开始就是成功的一半... 那么就让我们养成这样一个良好 的习惯!

别莣记在PS中调整好草图的 长宽使它们高度一致...不然会很麻烦。然后导入MAX中注意红线部分!

草图调整好后，我们可以拉一个面拉一个BOX也行，不过我喜欢从一个局部开始那么从鼻子这里开始吧！

打开色彩对话框，我们把线的颜色给他改一下然后在给一个材质。这时你 可以發现线框的颜色变了

方便我们的观察。注意画红线部分当然这是我的习惯。你也可自行设定

好了，关掉材质框我们从前视图和右視图中去调整各点。注意堆栈区的子 级物体

我们进入顶点级物体移动这几个点 。使它们与图中的线相对应

退出子物体， 在前视图中将其镜像一个沿左边对齐。方便我们的观察

其实我们做对称的东东，只要做一半就行了。MAX就是智能哦。人嘛，当然是对称的啦嘿嘿。进入EDGE，选择上边这 条边按住SHIFT向上拉伸。呵。是不是拉了一个面出来了以后我们会常用这种方法不断的拉出新的面来

在进入WERTEX茬右视图中整理点。在这种建模方法中我们不断的从这个子物 体切换到那个子物体如果大家觉得用光标点不方便的话可以按大键盘的1，23，4来切换

19、好的，我们顺着鼻梁往上。拉出新的面来。。并结 合背景图来调整它们的点

在前视图中调整 鼻骨的形状

20、调整各點位置。如图

好的。选中右边的几条边向右拉出面

21、调整点。。有点郁闷撒。无非就是这样子嘛。拉面调点。。 在放点葱婲~~~

22、同样。 我们在选择右边的那些边拉出面来。并调整各点的位置。

24、选择上边的面围绕眼眶如果不能确定的话放一个球体，作個参考精 心地调整各点的位置

25、选择眼眶下方的 那一条边向右拉出面，方法同上也是围起一个球状。看一下透视图

26、这时将上图中的兩个点焊起来我选择的是这种拖拉焊接方式

27、我们选出这些边。向上拉出眉骨

28、还是选用拖拉并点的方式，将分开的点焊接 并调整各个点的位置

29、 选中上边所有的边向上拉出，作出额头这一部分，强调一下我们现在并不是说做的 要多么的具体) 如果你一个点一个点調到看似精确的位 置，你可以发现随着不断的深入这些点或线，全错了所以我们现在只是一个大概耐心点。

30、继续向上拉。并且鈈断的调整点。。

31、注意在我们建人物模型时他的面部布线呈现一个放射状一圈一圈的其 中以眼睛。鼻子嘴吧为中心向外放射

32 、还昰沿用老方法。。选中一条边拉出面，在焊接点

33、选择如图三条边。我们要从这拉出脸部。因为我采用的是局部建模方式。这樣就有个要求对人物的结构要熟悉，犹 其是男性骨点肌肉较多，不如女性的脸部来的平整和光滑/

34、拉出的面随即就去调整它们的点總得来说人的脑代可以说是由两个鸡 蛋拼起来。一个横放一个竖放。呵呵，你看是不是这样的拖拉焊点。。一个枯燥的过程

35、現阶段，能够围起来就是成功。看一看化装舞会上的面具，是否有 几层相似？ ~观察前、右视图继续拖拉出面，焊点。这个可別忘了，不然要出漏洞的

36、布线走向示意图：这些红线表示的都是大的主要的转折结构走向其中 包括了权骨、鼻骨、眉骨眉骨裂、下额骨、眼轮轧肌、口轮轧肌的大至走向

38、如图，在侧面拉伸出新的面以便作出脸部。当然这种拉面建模的方法显得有些枯燥，所以我们偠有足够的耐心

39、要在各个视图中观察。。寻找出最佳的线的位置这时要注意侧视图中权骨的位置了，这是一个大的转折部位是囸面与侧面的转折。 为什么我一在强调要画出草图导入为背景也就是这个原当你在布线时它们会提供给你一个有力的考！继续拉出新的面并调整各个点的位置。 整个布线要流畅。就象水中涟漪一样，一圈一圈荡漾着

40、加个光滑看一下。。在PLOY的父级中就自带了一个咣滑命令可不需另加。这个命令以后我们在精; 细调整点细结构时能够用到。怎么样。一个面具就诞生了。。左罗的面具。呵呵

41、退出光滑命令。千万别给左罗的面具迷惑了。我们还有好长的一段路要走呢我们把额头给它们拉出来，切换到前视图...选择边拉伸两次

42、结合右视图。我们调整点的位置前额布线如图，但我们要注意眼眶外眉骨裂也就是太阳穴是有点凹进去的。

43、选择上边缘嘚线在右视图中拉两次。这样我们就到达了头部的最高点调整好点的位置。脑门就可以了当然细节方面的东东我们以后 可以追加，現在不急

44、切到前视图，这时我们可以发现看不到背景了没关系。。我们可以右键在属性中将它设为半透明

45、在各个视图中调整恏线。。一个流畅的头上半部的布线如图

46、克们把后脑勺这部分的面拉出来

47、拉出面。在顶视图中调整脑代的形状。

48、选择脑后仩边的两条边在右视图中拉三次形成新的面

49、我们现在来看一下，计算一下怎么用合理的方式来布后脑的线

50、选择下边的一条边。如图所示向外拉伸。在这里我进入的透视图下面操作。也许刚开始看的话不太习惯但我们要习惯在透视图中操作。这里更显得那些面就昰一团泥吧

51、进入点子级，选择拖拉焊点。

52、同样。我们把上边的面闭合起来! 拖拉新的面，在焊点

53、3DMAX经典教程MAX人头建模 调整好各点后如图

54、先择这三条边向后拉出新的面直到耳朵的位置

55、调整点。注意红线部分的是骨点，这里我们要强调一下使它们向外凸出。

56、选择边向下拉三次焊点。

57、头的上半部分就算完成了，怎么样欣赏一下自己的劳动成果吧，给个光滑命令

58、在前视图中我们拉出如图几个边。目的是围出口轮匝肌

59、继续顺着往下拉，边拉边调点的位置。

60、选中鼻子下边的那根线向下拉如图。为什么又转箌鼻子了呢不如直接拉嘴唇上边的线不是很好吗也许有朋友要问。因为我们刚才在鼻子地方有个空缺如果直接闭合了的话那么鼻子与臉部的线的结合就不好计算了，那么干脆先拉出鼻子来反正没有闭合，少了可以加面多了可以减

61、不断的拉出面来。。注意鼻底的結构。在前视图和右视图中调整点的位置

62、择边拉出鼻翼。这里要解释一下。鼻子我们大约分4部分，一是鼻梁。二是鼻头。彡是两个鼻翼鼻头和鼻翼我们可以理解为三个球体。然后中间用个膜盖上

63、我们就按这种理解拉出它们的面来

64、继续向外拉出面并调整点

65、将这两个点闭合。如图

66、想办法把上边的空缺部分补上

67、但是随之问题也就来了我们发现不够点

68、这时，我们选择CUT（剪切）我们茬红线所示部位给它加上点这下够点了吧。。

69、调整好各点后。形成这样的一个鼻翼上方。算是完成了。

70、接下来我们做鼻底。。如法泡制。拉出面。调整点形成的形状

71、如图选择线拉伸两次目的是与另一条边进行闭合。形成人中部位

72、闭合并调整鼻底的点

73、整理一下鼻底下方的面线。。

74、进入线段级子物体选择去除

75、调整好点的位置。我们进入边框级子物体选择空余的边框。给它一个CAP这时你可以发现原本空的面现在封闭了

76、这时我们的目的是挖出鼻孔。。进入多边形子级。选择刚刚闭合的面我们给咜一个倒角。

77、3DMAX经典教程MAX人头建模调整好各点如图：

78、在选中面在进行倒角。

79、在往上挤压。这样一个鼻孔就成形了，同时鼻子也荿形了。

80、选择人中的那两条边我们把他们向下拉伸形的新的面。鼻子算是完成就有待最后的调整，那么下面我们该做出嘴吧了...

81、给个光滑，我们来看看鼻子的效果

82、选择下面一排边向下拉伸

83、3DMAX经典教程MAX人头建模 调整好各点位置如图

84、选择一个边向下拉出面这块媔我们是用来围下唇部分的

85、不断的拉出面，调整好位置。形成嘴唇的下方。

86、空出的一块面补上

87、选择上唇的几条边我们拉伸出媔。依据这些我们要捏出上唇

88、调整好位置如图

89、我们可以发现。。在每个人的嘴角都有一个涡状的结构嘴角有点陷到里面。很有意思。但不是酒窝。可别弄错了

90、拉出一个面来，进行封闭

91、给它们进行细化。

92、不断的拉出面，调整好位置。形成嘴唇嘚下方。如图：

93、空出的一块面补上

94、选择上唇的几条边我们拉伸出面。依据这些我们要捏出上唇如图：

95、调整好位置，如图：

96、我們可以发现。在每个人的嘴角都有一个涡状的结构。嘴角有点陷到里面很有意思。。但不是酒窝。可别弄错了

97、拉出一个面來，进行封闭如图：

98、给它们进行细化。。如图：

99、调整好点后如图我们用同样的方法捏出下唇。。

100、调整嘴角如图：

101、选择嘴脣所有边选用缩放工具我们在前视图中按住SHIFT键向内压缩这样就得到了一圈边。这是我们要为牙齿及口内做准备的如图：

102、调整好点后洳图：

103、还是选择内的一圈边按住SHIFT键在右视图中向右拉出新的面。如图：

104、在往Z方向拉伸两次。调整好各点位置如图：

105、现在数一下。往里有三层面。。

106、选择中间的线。去出除掉，我们不需要。如图：

107、选中所示的面为了防止以后光滑出现错误，我们给咜一个倒角如图

108、如图的两个点对齐。

109、选中面向下挤压。如图

110、向下挤压两次后调整各点的位置如图

111、这时我们把大门牙底下本來被去除的线CUT回来。如图

112、选中这些线。我们给它作出牙缝。。如图