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由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵.

三种初等变换对应着三种初等方阵:

0 k??=0乘某行或某列；

3.以数k乘某行（列）加到另一 行（列）上去．

1.2 初等矩阵的性质

1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.

对任一矩阵 A作一初等行(列)变换相当于对 A 左(右)乘一个相应的初等矩阵．

若矩阵B可由A经过一系列初等变换嘚到则称A与B等价的．（也称A与B相抵）

①　矩阵的等价关系具有：　反射性、对称性、传递性.

②　等价矩阵的秩相等．

2.2 矩阵等价的有关结論

$\begin{array}{cccccc}& & & 0& & 0\\ & & & & & \\ & & & 0& & 0\\ 0& & 0& 0& & 0\\ & & & & & \\ 0& & 0& 0& & 0\end{array}\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ 0& 0\end{array}$

的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数 等于R(A)(1的个数可以是零).

?A的标准形为单位矩阵E.

$$?A与单位矩阵E等价.

?A能表成一些初等矩阵的积,

0 ${}_{}{}_{}{}_{}$

(A?E) 施行初等行变换,当把A 变成 E时原来的E就变成${}^{}$

0 0 (Em?0?0En??),作1次“初等变换”可得

$\begin{array}{cc}0& {}_{}\\ {}_{}& 0\end{array}\begin{array}{cc}0& {}_{}\\ {}_{}& 0\end{array}$

$\begin{array}{cc}& 0\\ 0& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ 0& \end{array}$

$\begin{array}{cc}{}_{}& \\ 0& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ & {}_{}\end{array}$

0 0

$\begin{array}{cc}& 0\\ 0& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}$

$\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ & {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}$

P=?CA?1.上式变为：

$\begin{array}{cc}{}_{}& 0\\ {}^{}& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\begin{array}{cc}& \\ 0& {}^{}\end{array}$