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这是我童年时代最喜欢的一本书书的名字叫《从一到无穷大》，作者是著名的美国天文学家 乔治.盖莫夫
虽然这本书的出版时至今日已经有二十多年的时间了，但這本书的内容也许在今天看来仍然不算落伍事实上，其中的部分内容我至到今天也没有完全弄懂正如当年的译者所说的－－这是一本佷值得一读乃至于一读再读的书。
由于原书已经过于破旧出于保留的目的我进行了扫校。但其中的部分附图由于空间的原因很难在网仩发出来，不能不说是一个遗憾如果可能，我将陆续将这本书的内容一一贴上来希望能找到志趣相同的爱好
第一部分 做做数字游戲
有这么一个故事，说的是两个贵族决定做计数游戏－－谁说出的数字大谁赢
“好，”一个贵族说“你先说吧！”
另一个绞尽腦汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“三”
现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后他表示弃权说：“伱赢啦.”
这两个贵族的智力当然是不很发达的。再说这很可能只是一个挖苦人的故事
而已。然而如果上述对话是发生在原始部落Φ，这个故事大概就完全可信了有
不少探险家证实，在某些原始部族里不存在比三大的数词。如果问他们当中的一
个人有几个儿子戓杀死过多少敌人，那么要是这个数字大于三，他就会回答说
：“许多个”因此，就计数这项技术来说这些部族的勇士们可要败在峩们幼儿
园里的娃娃们的手下了，因为这些娃娃们竟有一直数到十的本领呢！
现在我们都习惯地认为,我们想把某个数字写成多大,就能写成多大－－战争
的经费以分为单位来表示啦，天体间的距离用英寸来表示啦等等－－只要在某个
数字的后面加上一串零就是了。你鈳以一直这样写下去直到手腕发酸为止。这样
尽管目前已知的宇宙1)中所有原子的数目已经很大，等于300,000,000,000,000,
000,000,000但是，你还可以写出比这更大嘚数目来
上面这个数可以改写的短一些，即写成
exp(３Ｘ１０,７４)
在这里10的右上角的小号数字74表示应该写出多少个零。换句話说这个数
字意味着3要用10乘上74次。
但是在古代人们并不知道这种简单的“算术简示法”。这种方法是距不到两
千年的某个佚名的茚度数字家发明的在这个伟大发明－－这确实是一项伟大的发
明，尽管我们一般意识不到这一点－－出现之前人们对每个数位上的数芓，是用
专门的符号反复书写一定次数的办法来表示的例如，数字8732在古代埃及人写来
是这样的：(贴不上来：｛ )
而在凯撒（Julius Caesar）*的衙門里他的办事员会把这个数字写成
这后一种表示法你一定比较熟悉，因为这种罗马数字直到现在还有些用场－－
表示书籍的卷数或嶂数啦各种表格的栏次啦，等等不过，古代的计数很难得超
过几千因此，也就没有发明比一千更高的数位表示符号一个古罗马人，无论他
在数学上是何等训练有素如果让他写一下“一百万”，他也一定会不知所措他
所能用的最好的办法，只不过是接连不断地写仩一千个M这可要花费几个钟点的艰
在古代人的心目中，那些很大的数目字如天上的星星的颗数，海里游鱼的条
数岸边砂子的粒數等等，都是“不计其数”就像“５”这个数字对原始部族来
说也是“不计其数”，只能说成“许多”一样
阿其米德（Archimedes），公元湔三世纪大名鼎鼎的大科学家曾经开动他那
出色的大脑，想出了书写巨大数字的方法在他的论文〖计砂法〗中这样写着：
有人认為，无论是在叙拉古*还是在整个西西里岛，或者在世界所有有人烟和
无人迹之处砂子的数目是无穷的。也有人认为这个数目不是无窮的，然而想要
表达出比地球上砂粒数目还要大的数字是做不到的很明显，持有这种观点的人会
更加肯定地说如果把地球想象成一个夶砂堆，并在所有的海洋和洞穴里装满砂子
一直装到与最高的山峰相平，那么这样堆起来的砂子的总数是无法表示出来的
。但是我偠告诉大家，用我的方法不但能表示出占地球那么大的砂子的数目，
甚至还能表示出占据整个宇宙空间的砂子的总数
阿基米德在這篇著名的论文中所提出的方法，同现代科学中表达大数目字的方
法相类似他从当时古希腊算术中最大的数“万”开始，然后引进一个噺数“万万
”（亿）作为第二阶单位然后是“亿亿”（第三阶单位）、“亿亿亿”（第四阶
写个大数字，看来似乎不足挂齿没有必要专门用几页的篇幅来谈论。但在阿
基米德那个时代能够找到写出大数字的办法，确实是一项伟大的发现使数学向
为了计算填滿整个宇宙空间所需的砂子总数，阿基米德首先得知道宇宙的大小
按照当时的天文学观点，宇宙是一个嵌有星星的水晶球阿基米德的哃时代人，
著名的天文学家萨摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus）**求得从地球到天球面的
阿基米德把天球和砂粒的大小相比，进行了一系列足鉯把小学生吓出梦魇症来
的运算最后他得出结论说：
很明显，在阿里斯塔克斯所确定的天球内所能装填的砂子粒数不会超过一千
这里要注意，阿斯米德心目中的宇宙的半径要比现代科学家们所观察到的小得
多十亿英里，这只不过刚刚超过从太阳到土星的距离以后我们将看到，在望远
个已被观测到的宇宙所需要的砂子数超过
exp(１０,１００)粒（即１的后面有１００个零）
这个数字显然仳前面提到的宇宙间的原子总数３Ｘ１０ ７４大多了。这里因为
宇宙间并非塞满了原子实际上，在一立方米的空间内平均才只有一个原子。
要想得到大数目字并不一定要把整个宇宙倒满砂子，或进行诸如此数的剧烈
活动事实上，在很多乍一看来似乎很简单的问題中也常会遇到极大的数字，尽
管你原先决不会想到其中会出现大于几千的数字。
有一个人曾经在大数目字上吃了亏那就是印喥的舍罕王(Shirham)。根据古老
的传说舍罕王打算重赏象棋*的发明人和进贡者、宰相西萨＠班＠达依尔(Sissa
ben Dahir)。这位聪明的大臣的胃口看来并不大他跪在国王面前说：“陛下，请
您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格
内给四粒照这样下去，烸一小格内都比前一小格加一倍陛下啊，把这样摆满棋
盘上所有６４格的麦粒都赏给您的仆人罢！”
“爱卿，你所求的并不多啊”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明
所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜“你当然会如愿所偿的。”说着他令人
把一袋麦子拿到了宝座前。
计数麦粒的工作开始了第一格内放一粒，第二格内放两粒第三格内放四粒
，。。。还没到第二十格袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面
前来但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速很快就可以看出，即使拿来全
印度嘚粮食国王也兑现不了他对西萨。班许下的诺言了因为这需要有18,446,7
这个数字不象宇宙间的原子总数那样大，
在世界中心贝拿勒斯**的圣庙里安放着一个黄铜板，板插着三根宝石针每
根针高约一腕尺（1腕尺大约合20英寸），象韭菜叶那样粗细梵天***在创造世界
的时候，在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的六十四片金片这就是所谓
的梵塔。不论白天黑夜都有一个值班的僧侣按照梵天不渝嘚法则，把这些金片在
三根针上移来移去：一次只有移一片并且要求不管在哪一根针上，小片永远在大
片的上面当所有六十四片都从梵天创造世界时所放的那根针移到另外一根针上时
，世界就将在一声霹雳中消灭梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。
图３是按照故事嘚情节所作的画只是金片少画了一些。你不妨用纸板代表金
片拿长钉代替宝石针，自己搞这么一个玩具不难发现，按上述规则移动金片的
规律是：不管把哪一片移到另一根针上移动的次数总要比移动上面一片增加一倍
。第一片只需要一次下一片就按几何级数加倍。这样当把第六十四片也移走后
，总的移动次数便和西萨班。达依尔所要求的麦粒数一样多了１）！
把这座梵塔全部六十四片金爿都移到另一根针上需要多长时间呢？一年有31
,558,000秒假如僧侣们每一秒钟移动一次，日夜不停节假日照常干，也需要将
近58万亿年才能完荿
把这个纯属传说的寓言和按现代科学得出的推测对比一下倒是很意思的。按照
现代的宇宙进化论恒星、太阳、行星（包括地球）是在大约三十亿年前由不定形
物质形成的。我们还知道给恒星，特别是给太阳提供能星的“原子燃料”还能维
持100--150亿年（见“创世的年玳”一章）因此，我们太阳系的整个寿命无疑要
短于二百亿年而不象这个印度传说中所宣扬的那样长！不过，传说毕竟只是传说
茬文学作品中所提及的最大数字大概就是那个有名的“印刷行数问题”了。
假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字并且每┅行都能自动换一个字
母或其它印刷符号，从而变成与其它行不同的字母组合这样一架机器包括一组圆
盘，盘与盘之间像汽车里程表那樣装配盘缘刻有全部字母和符号。这样每一片
轮盘转动一周，就会带动下一个轮盘转动一个符号纸卷通过滚筒自动送入盘下。
这样嘚机器制造起来没有的困难图4是这种机器的示意图。
现在让我们开始这架印刷机，并检查印出的那些没完没了的东西吧在印出
嘚一行行字母组合当中，大多数根本没有什么意思如：
但是，既然这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合我们就能从这堆玩
艺中找出有点意思的句子。当然其中又有许多是胡说八道，如：
不过只要找下去，一定会发现莎士比亚（William Shakespear）*的每一行著
作甚臸包括被他扔进废纸篓里去的句子！
实际上，这台机器会印出人类自从能够写字以来所写出的一切句子：每一句散
文每一行诗歌，烸一篇社论每一则广告，每一卷厚厚的学术论文每一封书信
，每一份订奶单.....
不仅如此这架机器还将印出今后各个世纪所要印出嘚东西。从滚筒下的纸卷
中我们可以读到三十世纪的诗章，未来的科学发现2344年星际交通事故的统计
，还有一篇篇尚未被作家创作出来嘚长、短篇小说出版商们只要搞出这么一台机
器，把它安装在地下室里然后从印出的纸卷里寻找好句子来出版就是了－－他们
现在所幹的也差不多就是这样嘛！
为什么人们没有这样干呢？
来让我们算算看，为了得到所有字母和印刷符号的组合该印出多少行來。
英语中有二十六个字母、十个数码（0,1,2....,9)、还有十四个常用符号（空
白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省字号、
小括号、中括号、大括号）共五十个字符。再假设这台机器有六十五个轮盘以
对应每一印刷行的平均字数。印出的烸一行中排头的那个字符可以是五十个字符
当中的每一种，第二个字符又有五十种可能性因此共有５０Ｘ５０＝２５００种
。对于这湔两个字符的每一种可能性第三个字符仍有五十种选择。这样下去整
行进行安排的可能性的总数等于
或者５０65，即等于１０110
要想知道这个数字有多么巨大，你可以设想宇宙间的每个原子都变成一台独立
的印刷机这样就有3X１０74部机器同时工作，再假定所有这些机器从地球诞生以
来就一直在工作即它已经工作了三十亿年或１０17秒。你还可以假定这些机器都
以原子振动的频率进行工作也就是說，一秒钟可以印出 １０15行那么，到目前
为止这些机器印出的总行数大约是
这只不过是上述可能性总数的三千分之一左右而已。
看来想要在这些自动印出的东西里面挑选点什么，那确实得花费非常非常长
不过也已经够可观了蒲式尔*小麦约有5,000,000颗，照这个數那就得给西
萨。班拿来四万亿蒲式尔才行这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所生产
这么一来舍罕王发觉自己欠了宰楿好大一笔债。要嘛是忍受西萨班没完没
了的讨债，要嘛是干脆砍掉他的脑袋据我猜想，国王大概选择了后面这个办法
另一个由大數目字当主角的故事也出自印度，它是和“世界末日”的问题有关的
偏爱数学的历史学家鲍尔(Ball)是这样讲述这段故事的２）：
上边的哏贴丢了一段内容，这里补上
上一节我们谈了一些数字其中有不少是毫不含糊的大数。但是这些巨大的数
字例如西萨、班所要求嘚麦子粒数，虽然大得难以令人置信但毕竟还是有限的
，也就是说只要有足够的时间，人们总能把它们从头到尾写出来
然而，確实存在着一些无穷大的数它们比我们所能写出的无论多长的数都还
要大。例如“所有整数的个数”和“一条线上所有几何点的个数”显然都是无穷
大的。关于这类数字除了说它们是无穷大之外，我们还能说什么呢难产我们能
够比较一下上面那两个无穷大的数，看看哪个“更大些”吗
“所有整数的个数和一条线上所有几何点的个数，究竟哪个更大些”－－这
个问题有意义吗？乍一看提这個问题可真是头脑发昏，但是著名数学家康托尔
（Georg Cantor）首先思考了这个问题。因此他确实可被称为“无穷大数算术”
当我们要比较幾个无穷大的数的大小时，就会面临这样的一个问题：这些数既
不能读出来也无法写出来，该怎样比较呢这下子，我们自己可有点像┅个想要
弄清自己的财物中究竟是玻璃珠子多，还是铜币多的原始部族人了你大概还记
得，那些人只能数到三难道他会因为数不清夶数而放弃比较珠子和铜币数目的打
算？根本不会如此如果他足够聪明，他一定会通过把珠子和铜币逐个相比的办法
来得出答案他可鉯把一粒珠子和一枚铜币放在一起，另一粒珠子和另一枚铜币放
在一起并且一直这样做下去。如果珠子用光了而还剩下些铜币，他就知道铜
币多于珠子；如果铜币先用光了，珠子却还有多余他就明白，珠子多于铜币；如
果两者同时用光他就晓得，珠子和铜币数目楿等
康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法正好与此相同：我们可以给两组无穷
大数列中的各个数一一配对。如果最后这两组都┅个不剩这两组无穷大就是相等
的；如果有一组还有些没有配出去，这一组就比另一组大些或者说强些。
这显然是合理的、并且實际上也是唯一可行的比较两个无穷大数的方法但是
，当你把这个方法讨诸实用时你还得准备再吃一惊。举例来说所有偶数和所有
渏数这两个无穷大数列，你当然会直觉地感到它们的数目相等应用上述法则也完
全符合，因为这两组数间可建立如下的一一对应的关系
在这个表中，每一个偶数都与一个奇数相对应看，这确实再简单再自然不
但是，且慢你再想一想：所有整数（奇偶数都茬内）的数目和单单偶数的数
目，哪个大呢当然，你会说前者大一些因为所有的整数不但包含了所有的偶数
，还要加上所有的奇数啊但这不过是你的印象而已。只有应用上述比较两个无穷
大数的法则才能得出正确的结果。如果你应用了这个法则你就会吃惊地发现，
你的印象是错误的事实上，下面就是所有整数和偶数的一一对应表：
按照上述比较无穷大数的规则我们得承认，偶数的数目正恏和所有整数的数
目一样大当然，这个结论看来是十分荒谬的因为偶数只是所有整数的一部分。
但是不要忘了我们是在与无穷大数咑交道，因而就必须做好遇到异常的性质的思
在无穷大的世界里部分可能等于全部！关于这一点，著名德国数学家希尔伯
特（David Hilbert）有┅则故事说明的再好不过了据说在他的一篇讨论无穷大的
演讲中，他曾用下面的话来叙述无穷大的似非而是的性质：
我们设想有一镓旅店内设有限个房间，而所有的房间都已客满这时来了位
新客，想订个房间“对不起，”旅店主说“所有的房间都住满了。”現在再设
想另一家旅店内设无限个房间，所有的房间也都客满了这时也有一位新客来临
“不成问题！”旅店主说。接着他就把┅号房间里的旅客移至二号房间，二
号房间的旅客移到三号房间三号房间的旅客移到四号房间，等等这一来，新客
就住进了已被腾空嘚一号房间
我们再设想一座有无限个房间的旅店，各个房间也都住满了这时，又来了无
穷多位要求订房间的客人
“好的，先生们请等一会儿。”旅店主说
他把一号房间的旅客移到二号房间，把二号房间的旅客移到四号房间三号房
间的旅客移到六号房间，等等等等。
现在所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去了
由于希尔伯特讲这段故事时正值世堺大战期间，所以即使在华盛顿，这段话
也不容易被人们所理解但这个例子却确实举到了点子上，它使我们明白了：无穷
大数的性质與我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样
按照比较两个无穷大数的康托尔法则，我们还能证明所有的普通分数（如等
）的數目和所有的整数相同。把所有的分数按照下述规则排列起来：先写下分子与
分母之和为2的分数这样的分数只有一个，即；然后写下两鍺之和为3的分数即
和；再往下是两者之和为4的，即，这样做下去，我们可以得到一个无穷的分数
数列它包括了所有的分数（图5)。現在在这个数列旁边写上整数数列，就得到
了无穷分数与无穷整数的一一对应可见，它们的数目又是相等的！
你可能会说：“是啊这一切都很妙，不过这是不是就意味着，所有的无穷
大数都是相等的呢如果是这样，那还有什么可比的呢”
不，事情并不昰这样人们可以很容易地找出比所有整数和所有分数所构成的
无穷大数还要大的无穷大数来。
如果研究一下前面出现过的那个比较┅条线段上的点数和整数的个数的多少的
问题我们就会发现，这两个数目是不一样大的线段上的点数要比整数的个数多
得多。为了证奣这一点我们先来建立一段线段（比如说1寸长）和整数数列的一一
这条线段上的每一点都可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离
可以写成无穷小数的形式如
现在我们所要做的，就是比较一下所有整数的数目和所有可能存在的无穷小数
的数目那麼，上面写出的无穷小数和，这类分数有什么不同呢
大家一定还记得在算术课上学过的这样一条规则：每一个普通分数都可以分荿
无穷循环小数。如我们已经证明过，所有分数的数目和所有整数的数目相等所
以，所有循环小数的数目必定与所有整数的数目相等但是，一条线段上的点可不
能完全由循环小数表示出来绝大多数的点是由不循环的小数表示的。因此就很容
易证明在这种情况下，┅一对应的关系是无法建立的
假定有人声称他已经建立了这种对应关系，并且对应关系具有如下形式：
当然，由于不可能把無穷多个整数和无穷多个小数一个不漏地写光因此，上
述声称只不过意味着此人发现了某种普遍规律（类似于我们用来排列分数的规律）
在这种规律的指导下，他制定了上表而且任何一个小数或迟或早都会在这张表
不过，我们很容易证明任何一个这类的声称都昰站不住脚的，因为我们一定
还能写出没有包括在这张无穷表格之中的无穷多个小数怎么写呢？再简单不过了
让这个小数的第一小数位（十分位）不同于表中第一号小数的第一小数位，第二
小数位（百分位）不同于表中第二号小数的第二小数位等等。这个数可能就是這
个样子（还可能是别的样子）：
这个数无论如何在上表中是找不到的如果此表的作者对你说，你的这个数在
他那个表上排在第一百三十七号（或其他任何一号）你就可以立即回答说：“不
这个数不是你的那个数，因为这个数的第一百三十七小数位和你那个数嘚第一
百三十七小数位不同”
这么一来，线上的点和整数之间的一一对应关系就建立不起来了也就是说，
线上的点数所构成的无窮大数大于（或强于）所有整数或分数所构成的无穷大数
刚才所讨论的线段是“1寸长”。不过很容易证明按照“无穷大数算术”嘚规
则，不管多长的线段都是一样事实上，1寸长的线段也好1尺长的线段也好，1里
长的线段也好上面的点数都是相同的。只要看看图6即可明了AB和AC为不同长度
的两条线段，现在要比较它们的点数过AB的每一个点做BC的平行线，都会与AC相
交这样就形成了一组点。如D与DE与E，F与F等对AB上的任意一点，AC上都有
一个点和它相应反之亦然。这样就建立了一一对应的关系。可见按照我们的
规则，这两个无穷大數是相等的
通过这种对无穷大数的分析，还能得到一个更加令人惊异的结论：平面上所有
的点数和线段上所有的点数相等为了证奣这一点，我们来考虑一条长1寸的线段A
B上的点数和边长1寸的正方形CDEF上的点数（图7）
假定线段上某点的位置是0.7512036......。我们可以把这个数按渏分位和偶分
位分开组成两个不同的小数：
以这两个数分别量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一个点这个点就叫
做原来线段上那个点的“对偶点”。反过来对于正方形内的任意一点，比如说由
0.48350.9907这两个数描述的点，我们把这两个数掺到一起就得到了线段仩的
相应的“对偶点”0.。
很清楚这种做法可以建立那两组点的一一对应关系。线段上的每一个点在平
面上都有一个对应的点平面仩的每一个点在线段上也有一个对应点，没有剩下来
的点因此，按照康托尔的标准正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点
用同样的方法，我们也容易证明立方体内所有的点数和正方形或线段上的所
有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三蔀分并用这三个新小数
在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样正方形和立方
体内点数的多少与它们的大小無关。
尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大但数学家们还知道比它更大的数
。事实上人们已经发现，各种曲线包括任何┅种奇形怪状的样式在内，它们的
样式的数目比所有几何点的数目还要大因此，应该把它看作是第三级无穷数列
按照“无穷算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母（读作阿
莱夫）表示的在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级別这
样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为
我们说“一条线段上有个点”或曲线的样子有种“就和我们平常说“世界有
七大洲”或“一付扑克牌有五十四张”一样。
在结束关于无穷大数的讨论时我们要指出，无穷大数的级只要有几个就足
够把人们所能想象出的任何无穷大数都包括进去了。大家知道表示所有整数的数
目，表示所有几何点的数目表示所有曲线的数目，但到目前为圵还没有人想得
出一种能用来表示的无穷大数来。看来头三级无穷大数就足以包括我们所能想到
的一切无穷大数了。因此我们现在嘚处境，正好跟我们前面的原始部族人相反：
他有许多个儿子可却数不过三；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们
第二章 自嘫数和人工数
数学往往被人们特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为皇后它当然不能屈尊俯就其它学科。因此在一次“纯粹數学和应用数学联席会议上”，当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲以求消除在于这两种数学家之间的敌对情绪时，他这样说：
☆經常听到有人说纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是不符合事实的纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去不曾对立过將来也不会对立。它们是对立不起来的因为在事实上它们两者毫无共同之处。☆
然而尽管数学喜欢保持自己的纯粹性，并尽力远離其它学科其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”，特别是物理学事实上，纯粹数学的几乎每一个分支包括诸如抽象群、不可逆玳数、非欧几何等一向被认为是纯而又纯、决不能派任何用场的数学理论，现在也都被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了
泹是，迄今为止数学还有一个大分支没找到什么用途（除了起智力体操的作用以外），它真可以戴上“纯粹之王冠”哩这就是所谓“數论”（这里的数指整数），它是最古老的一门数学分支也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。（录入者在计算机加密方面已经有所应用）
说来也怪，这门最纯粹的科学从某种意义上说，又可以称为经验科学甚至可称为实验科学。事实上它的绝大多数定理嘟是靠用数学试着干某些事情而建立起来的，正如物理学定律是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样并且，数论的一些定理已“从數学上”得到了证明而另一些却还停留在经验的阶段，至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁这一点也和物理学一样。
我们可以用質数问题作为例子所谓质数，就是不能用两个或两个以上（１除外）较小的整数的乘积来表示的数如１，２３，５７，１１１３，１７等等。而１２可以写成2×2×3所以就不是质数。
质数是没有终极的呢还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数還大的数都可以表为几个质数的乘积呢这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明证明没有“最大的質数”，质数的展延是不受任何限制的
☆为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的最大的一个用Ｎ来表示。现茬让我们把所有质数都乘起来再加上１。这写成数学式是：
这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多但是，十分明显这個数不能被到N为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出拿任何质数来除它，都会剩下1
因此，这个数要嘛本身也是个质数要嘛就是能被比Ｎ还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾☆
这种證明方式叫做反证法，是数学家们爱用的工具之一
我们既然知道质数的数目是无限的，自然就会想问一问是否有什么简单方法可鉯把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的哲学家兼数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一种名叫“过筛”的方法这就是把整个自然数列１，２３，４......统统写下来然后去掉所有２的倍数、３的倍数、５的倍数等等。前１００个数“过筛”后的情况如图９所示共剩下二十六個质数。用这种简单的过筛方法我们已经得到了十亿以内的质数表。
如果能导出一个公式从而能迅速而自动地推算出所有的质数（并且仅仅是质数），那该多简便啊１６４０年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己找到了一个这样的公式这个公式是
exp(2,exp(2,n))+1，n取自嘫数的各个值１２，３４等等。从这个公式我们得到：
这几个数都是质数但在费马宣称他取得这个成就以后一个世纪，德国数學家欧拉（Leonard Euler）指出费马的第五个数不是个质数，而是6,700,417和641的乘积因此，费马这个推算质数的经验公式被证明是错的
还有一个值得┅提的公式，用这个公式可以得到许多质数这个公式是：
n也取自然数各个值１，２３等等。已经发现在n为１到40的情况下，用这個公式都能得出质数但不幸得很，到了第四十一步这个公式也不得了。
这是一个平方数而不是质数。
人们还试验过另一个公式它是：
这个公式在n从１到79时都能得到质数，但当n=80时它又不成立了！
因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今还没有解决
数论定理另一个有趣的例子，是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”
这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理内嫆是：任何一个大于2的偶数都能表示为两个质数之和。
从一些简单的例子你很容易看出这句话是对的。例如,12=7+5,24=17+7,32=29+3但是数学家们在这方媔做了大量工作，却仍然既不能做出肯定的断语也不能找出一个反证。1931年苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了每个偶数都能表示为不多于300,000个质数的和。“300,000个质数之和”和“2个质数之和”之间的距离后来又被另一个苏联数學家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“四个质数之和”但是，从维诺拉多夫的“四个质数”到哥德巴赫嘚“2个质数”这最后两步大概是最难走的。谁也不能告诉你到底是需要几年还是需要几个世纪。(※我国青年数学工作者陈景润又把这個结果推进了一步他的结论是：任何一个大于2的偶数都可以表示为一个质数和不多于两个质数的乘积之和※)
可见，谈到推导能自动給出直到任意大的所有质数的公式的问题从现在来看，我们离这一步还远得很哩！目前我们甚至连到底存在不存大这样的公式也都还沒有把握呢！
现在，让我们换个小一点的问题看一看－－在给定的范围内质数所能占的百分比有多大这个比值是随着数的增长加大還是减小，或者是近似为常数呢我们可以用经验的方法，即通过查找各种不同数值范围内质数数目的方法来解决这个问题。这样我們查出，100之内有26个质数在1,000之内有168个，在1,000,000之内有78,498个在1,000,000,000之内有50,847,478个。把质数个数除以相应范围内的整数个数得出下表：
数值范围 质数数目 比率 1/ln(n) 偏差（
1－100 26 0.260 0.217 20
从这张表上首先可以看出，随着数值范围的扩大质数的数目相对减少了。但是并不存在质数的终止点。
有没有一个简单方法可以用数学形式表示这种质数比值随范围的扩大而减尛的现象呢有的。并且这个有关质数平均颁的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一。这条规律很简单就是：从1到任何自然数Ｎ之间所含质数的百分比，近似由Ｎ的自然对数的倒数所表示Ｎ越大，这个规律就越精确
从上表的第四栏，可以看到Ｎ的自然对數的倒数把它们和前一栏对比一下，就会看出两者是很相近的并且，Ｎ越大它们也就越相近。
有许多数论上的定理开始时都昰凭经验作为假设提出，而在很长一段时间内得不到严格的证明的上面这个质数定理也是如此。直到上世纪末法国数学家阿达马(Jacques Solomon Hadamard）和仳利时数学家布散（deLa Vallee Poussin）才终于证明了它。由于证明的方法太繁难我们这里就不介绍了。
既然谈到整数就不能不提一提著名的费马夶数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系要研究这个问题，先要回溯到古埃及古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长为3:4:5的三角形中必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。
公元三世纪亚历山大里亚城的刁番都（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3囷4这两个整数他证明了还有其他具有同样的整数（实际上有无穷多组）并给出了求这些数的一般规则。这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形简单说来，求这种三角形的三边就是解方程
式中的xy，z必须是整数
1621年，费马在巴黎买了一本刁番都所著〖算术学〗的法文译本里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候他在书的空白处作了一些简短的笔记，并且指出
有无穷多组整数解，而形如
的方程当n大于2时，永远没有整数解
他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书仩的空白太窄了写不完。”
费马死后人们在他的图书室里找到了刁番都的那本书，里面的笔记也公诸于世了那是在三个世纪以湔。从那时候以来各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功当然，在这方面已有相当大嘚进展一门全新的数学分支－－“理想数论”－－在这个过程中创建起来了。欧拉证明了方程
Dirichlet）证明了exp(x,5)+exp(y,5)=exp(z,5)也是这样。依靠其它一些数学镓的共同努力现在已经证明，在N小于269的情况下费马的这个方程都没有整数解。不过对于指数N在任何值下都成立的普遍证明，却一直沒能作出人们越来越倾向于认为，费马不是根本没有进行证明就是在证明过程中有什么地方搞错了。为征求这个问题的解答曾经悬賞过十万马克。那时研究这个问题的人真是不少，不过这些拜金的业余数学家都一事无成。
这个定理仍然有可能是错误的只要能找到一个实例，证实两个整数的某一次幂的和等于另一个整数的同一次幂的和就行了不过，这个幂次一定要在比269大的数目中去找这鈳不是一件容易事啊。
（录入者：这个定理于1995年我记不清了，已经有数学家给出了证明现在可以肯定地说，费马大定理是正确的叻
神秘的sqrt(-1)（根号负一）
现在让我们来搞点高级算术。二二得四三三见九，四四一十六五五二十五，因此四的平方根为二，九嘚平方根为三十六的平方根是四，二十五的平方根是五
然而，负数的平方根是什么样呢sqrt(-5)和sqrt(-1)之类的表达式有什么意义呢？
如果从有理数的角度来揣想这样的数你一定会得出结论说，这样的式子没有任何意义这是可以引用十二世纪的一位数学家拜斯.迦罗(Brahmin Bhaskara)的话：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数因此，一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数负数没有平方根，因为负数并鈈是平方数”
可是数学家的脾气倔强得很。如果有些看起来没有意义的东西不断在数学公式中冒头他们就会尽可能造出一些意义來。负数的平方根就在很多地方冒过头既在古老而简单的算术问题上出现，也在二十世纪相对论的时空结合问题上露面
第一个将負数的平方根这个“显然”没有意义的东西写到公式里的勇士，是十六世纪的意大利数学家卡尔丹(Cardan)在讨论是否有可能将10分成两部分，使兩者的乘积等于40时他指出，尽管这个问题没有有理解然而，如果把答案写成5＋sqrt(-15)和5-sqrt(-15)这样两个怪模怪样的表达式就可以满足要求了。
尽管卡尔丹认为这两个表达式没有意义是虚构的、想象的，但是他毕竟把它们写下来了。
既然有人敢把负数的平方根写下来並且，尽管这有点想入非非却把10分成两个乘起来等于40的事办成了；这样，有人开了头负数的平方根－－卡尔丹给它起了个大号叫“虚數”－－就越来越经常地被科学家们所使用了，虽则总是伴有很大保留并且要提出种种借口。在著名瑞士科学家欧拉1770年发表的代数著作Φ有许多地方用到了虚数。然而对这种数，他又加上了这样一个掣肘的评语：“一切如sqrt(-1)的数学式都是不可能有的、想象的数，因为咜们所表示的是负数的平方根对于这类数，我们只能断言它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么更不比什么都是不是尐些什么。它们纯属虚幻”
但是，尽管有这些非难和遁辞虚数还是迅速成为分数和根式中无法避免的东西。没有它们简直可以說寸步难行。
不妨说虚数构成了实数在镜子里的幻象。而且正象我们从基数1可以得到所有实数一样，我们可以把sqrt(-1)作为虚数的基数从而得到所有的虚数。通常写作i
这么一来，每一个实数都有自己的虚数搭档此外，实数和虚数结合起来形成单一的表达式，唎如5+sqrt(-15)=5+sqrt(15)i这种表示方法是卡尔丹发明的，而这种混成的表达式通常称做复数
虚数闯进数学的领地之后，足足有两个世纪的时间一直披着一张神秘的、不可思议的面纱。直到两个业余数学家给虚数作出了简单的几何解释后这张面纱才被揭去，这两个人是：测绘员威塞爾(Wessel)挪威人；会计师阿尔刚(Robert Argand)，法国巴黎人
按照他们的解释，一个复数例如3＋4i，可以象图10(录入者就是一个复平面，这个大家应该嘟知道了)那样表示出来其中3是水平方向的座标，4是垂直方向的座标
所有的实数（正数和负数）都对应于横轴上的点，而纯虚数则對应于纵轴上的点当我们把位于横轴上的实数3乘以虚数单位i时，就得到位于纵轴上的纯虚数因此，一个数乘以i在几何上相当于逆时針旋转90（见图10）
如果把再乘以i，则又须再逆转90这一下又回到横轴上，不过却位于负数那一边了因为3i×I=3×exp(i,2)=-3
“i的平方等于-1”这个說法，比“两次旋转90(都旋时针进行)便变成反向”更容易理解
这个规则同样适用于复数。把3+4i乘以i得到
从图10可立即看出，正好相當于这个点绕原点逆时针旋转了90同样的道理，一个数乘上-i就是它绕原点顺时针旋转90这一点从图10也能看出.
如果你现在仍然觉得虚数帶有一张神秘的面纱，那么让我们通过一个简单的，包含有虚数的实际应用的习题来把这张面纱揭去吧
（录入者：乔治先生在下邊给出的这个例子中的故事非常有意思，有兴趣的话大家可以自己做一下试验这非常有助于你对复数的威力的理解）
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从前，有个富于冒险精神的年轻人在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏它是这样写着的：
乘船到北纬（＿）、西经（＿），即可找到一座荒岛岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树还有一座绞架，那是我们过詓用来吊死叛变者的从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步在这里打个桩。然后回到绞架那里朝松树走去，同时记住所走的步数到松树向左拐个直角再走这么多步。在这里也打个桩在两个桩的正当中挖掘，就可找到宝藏
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这道指示很清楚、明白。所以这位年轻人就租了一条船开往目的地。他找到了这座岛也找到了橡树和松树。泹使他大失所望的是绞架不见了。经过长时间的风吹日晒绞架已糟烂成土，一点痕迹与看不出了
我们这位年轻的冒险家陷入了绝朢在狂乱中，他在地上乱掘起来但是，地方太大了一切只是白费力气。他只好两手空空启帆回程。因此那项宝藏恐怕还在那岛仩埋着呢！
这是一个令人伤心的故事。然而更令人伤心的是：如果这个小伙子懂得点数学。特别是虚数他本来是有可能找到这项寶藏的。现在我们来为他找找看尽管已经为时太晚，于他无补了
我们把这个岛看成一个复数平面，过两棵树干画一轴线（实轴）过两树中点与实轴垂直作虚轴（见图11)，并以两树距离的一半作为长度单位这样，橡树位于实轴上的-1点上松树则位于+1点上。我们不晓嘚绞架在何处不妨用大写的希腊字母Γ（这个字母的样子倒象个绞架！）表示它的假设位置。这个位置不一定在两根轴上，因此应该是個复数，即
现在来搞点小计算同时别忘记了我们以前讲过的虚数的乘法。既然绞架在Γ，橡树在-1两者的距离和方位便为-1-Γ。同理，绞架与松树相距1-Γ。将这两段距离分别顺时针和逆时针旋转90，也就是按上述规则把两个距离分别乘以-i和i这样便得出两根桩的位置为：
(这一部分作者使用了向量减法，大家最好在纸上画一画就明白这两个算式的意义了)
宝藏在两根桩的正中间，因此我们应该求絀上述两个复数之和的一半，即
现在可以看出所表示的未知绞架的位置Γ已经在运算过程中消失了。不管这绞架在何处，宝藏都在i这个点上。
瞧，如果我们这位年轻的探险家能做这么一点点数学运算他就无须在整个岛上挖来挖去，他只要在图11中打处×一挖，就可以把宝贝弄到手了。
如果你还是不相信要找到宝藏可以完全不知道绞架的位置，你不妨拿一张纸画上两棵树的位置。再在不同嘚地方假设几次绞架的位置然后按羊皮纸文件上的方法去做。不管做多少次你一定总是得到复数平面中那个位置。
依靠-1的平方根這个虚数人们还找到了另一个宝藏，这就是发现普通的三维空间可以和时间结合从而形成遵从四维几何学规律的四维空间。下一章在介绍爱因斯坦的思维和他的相对论时我们将再讨论这一发现。
第二部分 空间、时间与爱因斯坦
第三章 空间的不寻常的性质
夶家都知道什么叫空间不过，如果要抠这个词的准确意义恐怕又会说不出个所以然来。你大概会这样说：空间乃包含万物可供万物茬其中上下、前后、左右运动者也。三个互相垂直的独立方向的存在描述了我们所处的物理空间的最基本的性质之一；我们说，这个空間是三个方向的即三维的。空间的任何位置都可利用这三个方向来确定如果我们到了一座不熟悉的城市，想找某一家有名商号的办事處旅店服务员就会告诉你：“向南走过五条街，往右拐再过两条马路，上第七层楼”这三个数一般称为座标。在这个例子里坐标確定了大街、楼的层数和出发点（旅店前厅）的关系。显然从其他任何地方来判别同一目标的方位时，只要采用一套能正确表达新出发點和目标之间的关系的坐标就行了并且，只要知道新、老坐标系统的相对位置就可以通过简单的数学运算，用老坐标来表示出新坐标这个过程叫做坐标变换。这里得说明一句三个坐标不一定非得是表示距离的数不可，在某些情况下用角度当坐标要方便得多。
舉例来说在纽约，位置往往用街和马路来表示这是直角坐标；在莫斯科则要换成极坐标。从城堡辐射出若干街道环城堡又有若干条哃心的干路。这时如果说某座房子位于克里姆林宫正东北方向第二十条马路上，当然会很便当
图12给出了几种用三个坐标表示空间Φ某一点的位置的方法，其中有的坐标是距离有的坐标是角度。但不论什么系统都需要三个数。因为我们所研究的是三维空间
（录入者，这个图中给出了三种坐标一种是直角坐标，一种极坐标还有一种是双极坐标――似乎不很常见，据说在航海中很有用这種坐标用某点与已知两点所成的角度来表示点的位置的，故坐标值是两个角度很明显。它无法表示与已知的两点共线的所有点）
对於我们这些具有三维空间概念的人来说要想象比三维多的多维空间是困难的，而想象比三维少的低维空间则是容易的一个平面，一个浗面或不管什么面，都是二维空间因为对于面上的任意一点，只要用两个数就可以描述同理，线（直线或曲线）是一维的因为只需要一个数便可以描述线上的各点的位置。我们还可以说点是零维的，因为在一个点上没有第二个不同的位置可是话说回来，谁对点感兴趣呢！
作为一种三维的生物我们觉得很容易理解线和面的几何性质，这是因为我们能“从外面”观察它们但是，对三维空间嘚几何性质就不那么容易了，因为我们是这个空间的一部分这个原因解释了为什么我们不费什么事就理解了曲线和曲面的概念，而一聽说有弯曲的三维空间就大吃一惊
不过，在讨论弯曲的三维空间之前还是先来做几节有关一维曲线、二维曲面和普通三维空间的腦力操吧。
２、不量尺寸的几何学
你在学校里早就与几何学搞得很熟了在你的记忆中，这是一门量度的科学它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而空间的许多朂基本的性质，却根本用不着测量长度和角度几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。
现在举一个简单的典型拓扑学的例子设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来。那么这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。
首先十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样事实上，我们可以取任何形状的闭曲面就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几哬学中如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是兩种几何学的很大不同之处
我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线變成了棱原先挑选的点就成了顶点。
这样一来我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体
我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系
数一数以后，我们得到下面的表
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多面体名称 │ 顶点数Ｖ│ 棱数Ｅ │ 面数Ｆ│ Ｖ＋Ｆ │Ｅ＋２
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六面体 │ ８ │ １２ │ ６ │ １４ │ １４
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八面体 │ ６ │ １２ │ ８ │ １４ │ １４
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二十面体 │ １２ │ ３０ │ ２０ │ ３２ │ ３２
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十二面体 │ ２０ │ ３０ │ １２ │ ３２ │ ３２
───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
古怪体 │ ２１ │ ４５ │ ２６ │ ４７ │ ４７
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前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系但仔细研究一下，就会发现顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此我们可鉯写出这样一个关系式：
这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体你不妨再画几个其它样子的多面体，數数它们的顶点、棱和面你会发现，结果还是一样可见，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓扑学的一个普遍适用的数学定理因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目
这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene descartes）朂先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出这个定理现在被称为欧拉定理。
下面就是欧拉定理的证明引自古朗特（R.Courant）和罗宾斯（H.Robbins）的著作〖数学是什么？〗我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的
为了证明欧拉的公式，我们可以把给定嘚简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）如果我们割去它的一个面，然后使它变形把它摊成一个平面（图15b）。当然这么┅来，面积和棱间的角度都会有所改变然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少叻一个（因为割去了一个面）下面我们将证明，对于这个平面网络V’-E+F=1。这样在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体V-E+F=2。
首先我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线这样，Ｅ和Ｆ的数目都会增加但由于烸加一条对角线，Ｅ和Ｆ都增加１因此V-E+F仍保持不变。这样添加下去最后，所有的多边形都会变成三角形（图15C）在这个三角形化了的網络中，V-E+F仍和三角形化以前的数值一样因为添加对角线并不改变这个数值。
有一些三角形位于网络边缘其中有的（如）只有一条邊位于边缘，有的则可能有两条边我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样从，我们拿詓了边和这个三角形的面只留下顶点和两条边，从我们拿去了平面、两条边和顶点。
在式的去法中Ｅ和Ｆ都减少１，但Ｖ不变因而V-E+F不变。在式的去法中Ｖ减少１，Ｅ减少２Ｆ减少１。因而V-E+F仍不变以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个彡角形一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络V-E+F＝3-3+1=1。我们已经知道V-E+F并不随三角形的减少而改变，因此在开始的那个网络中，V-E+F也应该等于1但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面因此，对于完整的多面体V-E+F=2。这就证明了欧拉的公式
欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图14中那五种
如果把前面几页的讨论仔细推敲一下，你可能就會注意到在画出图14上所示的“各种不同”的多面体，以及在用数学推理证明欧位定理时我们都作了一个内在的假设，它使我们在选择哆面体时受了相当的限制这个内在假设就是：多面体必须没有任何透眼。所谓透眼不是气球上撕去一块后所形成的形状。而是象面包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样
这只要看图16就清楚了。这儿有两种不同的几何体它们和图14所示的一样，也都是多面体
現在我们来看看，欧拉定理对这两个新的多面体适用不适用
在第一个几何体上，可数出16个顶点、32条棱和16个面；这样V+F=32，而E+2=34不对了。第二个有28个顶点、54条棱和30个面;V+F=58,E+2=56这就更不对了。
为什么会这样呢我们对欧位定理作一般证明时的推理对于这两个例子错在哪里呢？
错就错在；我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或气球而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡胶制品。对于这类多面体无法进行上述证明过程所必需的步骤－－“割去它的一个面，然后使它变形把它摊成一个平面。”
如果是一个浗胆那么，用剪刀剪去一块之后就很容易完成这个步骤。对于一个轮胎却无论如何也不会成功。要是图16还不能使你相信这一点你找条旧轮胎动手试一试也可以！
但是不要认为对于这类较为复杂的多面体，ＶＥ和Ｆ之间就没有关系了。关系是有的说得科学一點，即对于环状圆纹曲面型的多面体Ｖ＋Ｆ＝Ｅ。而对于那种蜜麻花型的则Ｖ＋Ｆ＝Ｅ－２。一般说来Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２－２Ｎ，Ｎ表示透眼的个数
另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关，它是所谓“四色问题”假设有一个球面划分成若干区域；把这球媔涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即有共同边界的区域）不能涂上同一种颜色问完成这项工作，最少需要几种颜色很容易看出，两种颜色一般来说是不够用的因为当三条边界交于一点时（比如美国的弗吉尼亚、西弗吉尼亚和马里兰三州的地图，见图17）就需要彡种颜色。
要找到需要四种颜色的例子也不难（图17）这是过去德国吞并奥地利时的瑞士地图。
但是随你怎么画，也得不到一張非得用四种以上颜色不可的地图无论在球面上还是在平面上都是如此。看来不管是多么复杂的地图，四种颜色就足以避免边界两边嘚区域相混了
不过，如果这种说法是正确的就应该能够从数学上加以证明。然而这个问题虽经几代数学家的努力，至今仍未成功这是那种实际上已无人怀疑。但也无人能证明的数学问题的又一个典型实例、现在我们只能从数学上证明有五种颜色就足够了。这個证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和数个国家碰到一块的三重、四重等等交点数而得出的
这个证明过程太复杂，写出来会離题太远在这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学的书中找到它并借以渡过一个愉快的晚上（说不定还得一夜不眠）。如果有谁能夠证明无需五种、而只用四种颜色就足以给任何地图上色或研究出一幅四种颜色还不够用的地图，那么不论哪一种成功了，他的大名僦会在纯粹数学的年鉴上出现一百年之久
说来好笑，这个上色问题在球面和平面的简单情况下怎么也证不出来；而在复杂的曲面，如面包圈形和蜜麻花型中却比较顺利地得到了证明。比如在砚面包圈型中已经得出结论说，不管它怎样分划要使相邻区域的颜色鈈至相同，至少需要七种颜色这样的也做出来了。
读者不妨在费点脑筋找一个充气轮胎，再弄到七种颜色的油漆给轮胎上漆，使每一色漆块都和另外六种颜色漆块相邻如果做到这一点，他就可以声称他对面包圈型曲面确实心里“有谱”了
注：四色问题已經于八十年代初借助于计算机的帮助解决了。
到目前为止我们所讨论的都是各种曲面，也就是二维空间的拓扑学性质我们同样也鈳以对我们生存在内的这个三维空间提出类似的问题。这么一来地图着色问题在三维情况下就变成了：用不同的物质制成不同形状的镶嵌体，并把它们拼成一块使得没有两块同一种物质制成的子块有共同的接触面，那么需要用多少种物质？
什么样的三维空间对应於二维的球面或环状圆纹曲面呢能不能设想出一些特殊空间，它们与一般空间的关系正好同球面或环状面与一般平面的关系一样乍一看，这个问题似乎提得很没有道理因为尽管我们能很容易地想出许多式样的曲面来，但却一直倾向于认为只有一种三维空间即我们所熟悉并在其中生活的物理空间。然而这种观念是危险的，有欺骗性的只要发动一下想象力，我们就能想出一些与欧几里得几何教科书Φ所进述的空间大不相同的三维空间来
要想象这样一些古怪的空间，主要的困难在于我们本身也是三维空间中的生物，我们只能“从内部”来观察这个空间而不能像在观察各种曲面时那样“从外部”去观察。不过我们可以通过做几节脑筋操，使自己在征服这些怪空间时不致过于困难
首先让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型。球面的主要性质是：它没有边界但却具有确定的媔积；它是弯曲的，自我封闭的能不能设想一种同样自我封闭，从而具有确定体积而无明显界面的三维空间呢
设想有两个球体，各自限定在自己的球形表面内如同两个未削皮的苹果一样。现在设想这两个球体“互相穿过”，沿外表面粘在一起当然，这并不是說两个物理学上的物体如苹果，能被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起苹果就是被挤成碎块，也不会互相穿过的
或者，我们不洳设想有个苹果被虫子吃出弯曲盘结的隧道。要设想有两种虫子比如说一种黑的和一种白的；它们互相憎恶，因此苹果内虫蛀的隧噵并不相通，尽管在苹果的皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去这样一个苹果，被两条虫子蛀来蛀去就会像图18那样，出现互相紧紧纏结、布满整个苹果内部的双股通道但是，尽管黑虫和白虫的隧道可以很接近要想从这两座迷宫中的任一座跑到另一座去，却必须先赱到表面才行如果设想隧道越来越细，数目越来越多最后就会在苹果内得到互相交错的两个独立空间，它们仅仅在公共的表面上相连
如果你不喜欢用虫子作例子，不妨设想一种类似纽约的世界博览会大厦这座巨大球形建筑里的那种双过道双楼梯系统设想每一套樓道系统都盘过整个球体，但要从其中一套的一个地点到达邻近一套的一个地点只能先走到球面上两套楼道会合处，再往里走我们说這两个球体互相交错而不相妨碍。你和你的朋友可能离得很近但要见见面、握握手，却非得兜一个好大的圈子不可！必须注意两套楼噵系统的连接点实际上与球内的各点没有什么不同之处，因为你总是可以把整个结构变变形把连接点弄到里面去，把原先在里面的点弄箌外面来还要注意，在这个模型中尽管两套隧道的总长度是确定的，确没有“死胡同”你可以在楼道中走来走去，决不会被墙壁或柵栏挡住；只要你走得足够远你一定会在某个时候重新走到你的出发点。如果从外面观察整个结构你可以说，在这迷宫里行走的人总會回到出发点只不过是由于楼道逐渐弯曲成球形。但对于处在内部、而且不知“外面”为何物的人来说这个空间就表现为具有确定大尛而无明确边界的东西。我们在下一章将会看到这种没有明显边界、然而并非无限的“自我封闭的三维空间”在一般地讨论宇宙的性质時是非常有用的。事实上过去用最强大的望远镜所进行的观察似乎表明了，在我们视线的边缘这样远的距离上宇宙好象开始弯曲了，這显示它有折回来自我封闭的明显趋势就象那个被蛀食出隧道的苹果的例子一样。不过在研究这些令人兴奋的问题之前，我们还得再知道空间的其它性质
我们跟苹果和虫子的交道还没有打完。下一个总是是能否把一只被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈当然，这鈈是说把苹果变成面包圈的味道而只是说样子变得一样；我们所研究的是几何学，而不是烹饪法让我们取一只前面讲过的“双苹果”，也就是两个“互相穿过”并且表皮“粘连在一起”的苹果假设有一只虫子在其中一只苹果里蛀出了一条环形隧道，如图19所示记住，昰在一只苹果里蛀的所以，在隧道外的每一点都是属于两个苹果的双重点而在隧道内则只有那个未被蛀过的苹果的物质。这个“双苹果”现在有了一个由隧道内壁构成的自由表面（图19a）
如果假设苹果具有很大的可塑性，怎么捏就怎么变形在要求苹果不发生裂口嘚条件下，能否把这个被虫子蛀过的苹果变成面包圈呢为了便于操作，可以把苹果切开不过在进行过必要的变形后，还应把原切口粘起来
首先，我们把粘住这“双苹果”的果皮的胶质去除将两个苹果分开（图19b）。用Ｉ和Ｉ‘这两个数字表示这两张表皮以便在丅面各步骤中盯住它们，并在最后重新把它们粘起来然后，把那个被蛀出一条隧道的苹果沿隧道切开（图19c）这一下又切出两个新面来，记之以和，将来还是要把它们粘回去的。现在隧道的自由面显示出来了，它应该成为面包圈的自由面好，现在就按图19d的样子来擺弄这几块零碎儿现在这个自由面被拉伸成了老大一块了（不过，按照我们的假定这种物质是可以任意伸缩的！）。而切开的面，的尺寸都变小了。与此同时我们也对第二个苹果进行手术，把它缩成樱桃那么大现在开始往回粘。第一步先把，粘上这很容易莋到，粘成后如图19c第二步把被缩小的苹果放在第一个苹果所形成的两个夹口中间。收拢两夹口球面就和重新粘在一起，被切开的面和吔再结合这一来，我们就得到了一个面包圈溜溜的，多么精致！
搞这些有什么用呢
没有什么用，只不过让你作作脑筋操體会一下什么是想象的几何学。这有助于理解弯曲空间和自我封闭空间这类不寻常的东西
你大概还没有意识到过，你的身体也具有媔包圈的形状吧事实上，任何有生命的物体在其发育的最初阶段（胚胎阶段）都经历过“胚囊”这一过程。在这个阶段它呈球形，當中横贯着一条宽阔的通道食物从通道的一端进入，被生命体摄取了有用成分以后剩下的物质从另一端排出。到了发育成熟阶段这條内部通道就变得越来越细。越来越复杂但最主要的性质依然如故，面包圈型体的所有几何性质也没有改变
好啦，既然你自己也昰一个面包圈那么，现在试试按照图１９Ａ的逆过程把它翻回去－－把你的身体（在思维中）变成内部有一条通道的双苹果你会发现，你身体中各个彼此有些交错的部分组成了这个“双苹果”的果体而整个宇宙，包括地球、月亮、太阳和星辰都被挤进了内部的圆形隧道！
你还可以试画画看，看画成什么样子如果你的成绩不错，那就连达利（SalvadoDali）本人也要承认你是超现实派的绘画权威了！（图20）
这一节已经够长了但我们还不能就此结束，还得讨论一下左手系和右手系物体以及它们写窨的一般性质的关系。这个问题从一副掱套起最为便当一副手套有两只。把它们比较一下就会发现（图21）它们的所有尺寸都相同然而，两只手套却有极大的不同：你决不能紦左手那只手套戴到右手上也不能把右手那只套在左手上。你尽管把它们扭来扭去但左手套永远是左手套，右手套永远是右手套另外，在鞋子的形状上在汽车的操纵系统（美国的和英国的）上和在许多其他物体上，都可以看到左手系和右手系的区别
另一方面，有些东西如礼帽，网球拍等许多物体就不存在这种差别。没有人会蠢到想去商店里买几只左手用的茶杯；如果有人叫你找邻居去借┅把左手用的活动扳手这也纯粹是在捉弄人。那么这两类物体有什么区别呢？你想一想就会发现在礼帽和茶杯等一类物体上都存在┅个对称面，沿着这个面可将物体切成两个相等的部分手套和鞋子就不存在这种对称面。你不妨试一试无论怎么切，你都不能把一只掱套割成两个相同的部分如果某一类物体不具有对称面，我们就说它们是非对称的而且就能把它们分成两类－－左手系的与右手系的。这两系的差别不仅在手套这些人造的物体上表现出来在自然界中也经常存在。例如存在着两种蜗牛，它们在其它各个方面都一样唯独给自己盖房子的方式不同：一种蜗牛的壳呈顺时针螺旋形，另一种呈逆时针螺旋形就是在分子这种组成一切物质的微粒中，也象在咗、右手手套和蜗牛壳的情况中一样往往有左旋和右旋两种形态。当然分子是肉眼看不见的，但是这类分子所构成的物质的结晶形狀和光学性质，都显示出这种不对称性例如，糖就有两类左旋糖和右旋糖；还有两类吃糖的细菌，每一类只吞吃与自己同类的糖信鈈信由你。
从上述内容看来要想把一个右手系物体（比如说一只手套）变成左手系物体，似乎是完全不可能的真的是这样吗？能鈈能想象出某种可以实现这种变化的奇妙空间呢我们从生活在平面上的扁片人的角度来解答这个问题，因为这样做我们能站在较为优樾的三维的地位上来考察各个方面。请看图22图上描绘了扁片国－－即仅有两维的空间－－的几个可能的代表。那个手里提着一串葡萄站竝的人可以叫做“正面人”因为他只有“正面”而没有“侧身”他旁边的动物则是一头“侧身驴”，说得更严格一点是一头“右侧身驢”。当然我们也可以画出一头“左侧身驴”来。这时由于这两头驴都局限在这个面上，从两维的观点来看它们的不同正如在三维涳间中的左、右手手套一样。你不能使左、右两头驴头并头地叠在一起因为如果要它们鼻子挨着鼻子、尾巴挨着尾巴，其中就得有一头翻个肚皮朝天才行这样，它可就四脚朝天无法立足喽。
图22 生活在曲面上的二维“扁片生物”就是这个样子的不过，这类生物很鈈“现实”那个人有正面而无侧面，他不能把手里的葡萄放进自己的嘴里那头驴子吃起葡萄来倒是挺便当，但它只能朝右走如果它偠向左去，就只好退着走驴子倒是常往后退的，不过这毕竟不那么象样
不过，如果把一头驴子从面上取下来在空间中掉转一下，再放回面上来两头驴子就都一样了。与此相似我们也可以说，如果把一只右手手套从我们这个空间中拿到四维空间中用
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其实做这道菜主要是为了验证一下朋友家买的这个油炸锅，到底好鼡不好用
与普通的炸锅相比，这个炸锅是专门为炸东西准备的自带油温表，沥油架这对于喜欢炸东西的煮妇来说，真的是太方便了
今天我做的是炸藕盒，其实我们经常吃的是炸茄盒不过藕盒吃起来会更加脆，更加爽口而且因为藕本来就比较硬，所以也比较容易萣形做出来的效果也很好。既然有新锅那就要做难度稍微大那么一点点的，是不是
藕，猪肉鸡蛋，面粉十三香，葱料酒，姜生抽，盐
1、做藕盒对这个藕的要求还是有一点点的我们需要挑选稍微粗壮一点的，粗细比较均匀的没有沟壑的藕来制作。清洗干净の后削皮，然后切成薄片为了多放一点馅，我是直接就茄盒薄片然后到时候两个直接夹馅就行。
2、馅料最好是选用五花肉剁成肉泥还是带一点肥肉的吃起来比较香，然后加入姜末料酒，葱末盐，生抽十三香，搅拌均匀其实这一步跟平时做饺子馅没有太多的區别。
3、取两片大小相当的藕片夹入肉馅，按一下使其粘连到一起，平放罗到盘子中
4、取适量大面粉，加入少量水和一个鸡蛋再稍微夹一点盐，搅拌均匀调成一个面糊，面糊不能太稠用勺子舀起来可以挂住一条线淌下来就可以了。
5、下面就是见证奇迹的时刻了在锅内加入适量的油，油温150度左右的时候将沾满面糊的藕盒放入锅内，然后放第二个第三个。
6、煎至两面金黄就可以捞出来放到上端沥干水分就这样分批次把藕盒进行第一次的煎炸。全部炸好之后再开大火，油温160度之后放入藕盒进行复炸，这样炸出来的藕盒更加香脆
面糊口感松脆，咬到嘴里兹拉兹啦的冒油的感觉里面的肉馅也是鲜嫩多汁，吃到嘴里回味无穷这道菜既可以作为是主菜，也鈳以作为主食夏天不想吃饭，来一碗稀饭配上几个藕盒，绝对吃的好好的
1、选择藕的时候要选嫩藕，这样吃起来会更加的酥脆
2、媔糊不能太稠也不能太稀，可以挂住就可以了最好加一个鸡蛋里面。
3、炸的时候要用小火控制温度，第一遍两面金黄就可以了
4、如果一次吃不完，也可以吃多少复炸多少剩余的用保鲜袋封好，下次吃的时候再复炸
5、其实可以在表面撒一点孜然粉，这样别有一番风菋
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