cos1+cos1/2+cos1/3+...cos1/n。证明调和级数发散是否发散

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-05-12 15:30 标签： 调和级数发散的证明
判别∑(1-cos 1/n)的敛散性
因为lim(n->∞) (1-cos1/n)/(1/2n²)=1而Σ1/2n²收敛所以由比较审敛法的极限形式,可知原级数收敛.
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因为1-cos 1/n=2sin^2 (1/2n)>0,故知原级数为正项级数.由于n-->正无穷大时,lim2sin^2 (1/2n)/(1/2n)^2=2lim[sin(1/2n)/(1/2n)]^2=2*1^2=2为常数利用比值审敛法,得∑(1-cos 1/n)与∑(1/2n)^2的敛散性相同.而∑(1/2n)^2=1/4∑...
扫描下载二维码判断正项级数（1-cos1/n）收敛还是发散,用比较原则判断还有判断级数a^(1/n)-1收敛还是发散a>1，要过程
有两个基本极限:lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2,lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).可知n → ∞时0 ≤ 1-cos(1/n)与1/n²是同阶无穷小.根据比较判别法,由∑1/n²收敛,知∑(1-cos(1/n))收敛.而n → ∞时0 ≤ a^(1/n)-1与1/n是同阶无穷小.根据比较判别法,由∑1/n发散,知∑a^(1/n)-1发散.
这两个 lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2, lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).没听说过
这两个其实都算是基本极限了, 证法有很多.
从基础证起的话:
前者(1-cos(x))/x² = 2sin²(x/2)/x², 然后对t = x/2由lim{t → 0} sin(t)/t = 1即得.
后者对t = a^x-1, 有x = ln(1+t)/ln(a),
于是由lim{t → 0} t/ln(1+t) = lim{t → 0} 1/ln((1+t)^(1/t)) = 1即得.
如果不愿这个费功夫, 二者都可以用洛必达(L'Hospital)法则.
或者用Taylor展开cos(x) = 1-x²/2+o(x²), a^x = e^(xln(a)) = 1+xln(a)+o(x).
注: 严格来说指数函数求导公式一般是基于后面这个极限来证明的,
因此用洛必达法则在逻辑上有循环论证的嫌疑.
从这里也能看出这个极限是很基本的, 建议掌握.
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扫描下载二维码讨论级数∑n=2（1—cosπ/n）的p次方的收敛性,最好把每步式子都列出来p＞1/2收敛,p≤1/2发散
无极罪人PYif6
1-cosπ/n = 2[sin(π/2n)]^2当n→∞时,π/2n→0所以sin(π/2n)近似为π/2n于是1-cosπ/n π^2/2n^2(1-cosπ/n)^p C/n^(2p)(C为常数)于是p＞1/2收敛,p≤1/2发散
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n²2n因为∑1/2=1/(2n²2n发散;)所以n[1-cos(1/)&#47，所以原级数发散1-cos(1/n)~(1/n)]~1&#47
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