音乐七巧板_百度文库
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音乐七巧板
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七巧板是由什么演变来的
七巧板是由什么演变来的
提问者采纳
成为“七巧图”的前身．康熙年间刘献庭在《广阳杂记》中记述他看到的十三只拼板图;&nbsp，计六种十三只．用“蝶几”拼的图形比“燕几”图形要复杂丰富得多，1818年在德国和美国都纷纷出版了关于七巧板的书;&nbsp://h，变幻无穷．实用之余，但其记述十三块板“或长方、或半长方，则又变通其制;&nbsp.jpg" esrc="http，所以日本认为七巧板不是中国传去的．但笔者认为中国七巧板及日本七巧板都源于“蝶几图”，随手变幻、蝴蝶等形状、或锐角，转为清玩;&nbsp，其数十有三;&nbsp，常熟县人．《常熟县志》记载“戈汕造蝶几且有谱”．“蝶几”是三角形和梯形的几（图一）;&nbsp://h，作三角相错形，它在国外被称为“唐图”（Tangram）;&nbsp，长短相参;清陆以湉在《冷庐杂识》中记载，意思是中国图（不是唐代发明的图）．&nbsp，再切割两刀即成七巧板．七巧板很快传往日本和欧洲．在欧洲1805年编的书目中已收有介绍中国七巧板拼图的书．日本七巧板的分割方式略有不同（图三）它应该是采用蝶几样法的中心正方形补充分割而成．由于日本在1742年出版了《清少纳言智慧板》.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=858b9e5aebc4bffcc322f/d0c8a786cd7e47e70cf3bc79e3d56e5.baidu，并由之证明了勾股定理．而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，而我国现能找到的《七巧图合壁》是1803年出版的;&/zhidao/pic/item/d0c8a786cd7e47e70cf3bc79e3d56e5;&nbsp，所拼成的图形颇似“蝶几图”，即宋代的燕几图到明代发展为蝶几图;七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其制六、鼎;&nbsp，在世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图，在意大利出版的书中还介绍了中国历史．在这些书的前言中说.&nbsp，其式五;七巧板传往欧洲至今风靡不衰．1978年荷兰人JoosfElffers编写了一本有关七巧板的书，故世俗皆喜为之．”&nbsp，而且它不像其他赌具那样会让您输掉钱财．&&nbsp，能组成亭;这基本说明了渊源、瓶.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http，变为六十八名．明严瀓蝶几图;“宋黄伯恩燕几图://h，其变化之式多至千余．体物肖形，还不是七巧板．现在的七巧板是经过一段历史演变过程的．&nbsp，如蝶翅．其式三，以方几七;《蝶几谱》成书于明万历丁已年（1617年）;&nbsp，衍为二十五体;&/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=0df8e2bf1e178a82ce5fbb/d0c8a786cd7e47e70cf3bc79e3d56e5.hiphotos：&nbsp，是为今日组合桌具之祖．《燕几图》给出76种组合图（陆以湉称六十八名，以勾股之形，并被译成多国文字出版．<a href="http，其数七，即作于南宋时．但黄伯思是北宋时人，变桌为板，源于蝶几．将图1中的蝶几样法取右半部，卒于徽宗初年;&nbsp、或钝角”则又不似“蝶几”．显然这已是拼板游戏了．&nbsp，到清初再演变成七巧图．&nbsp，1810年在法国，而且早期七巧板风格和样式也都沿袭“蝶几图”．&nbsp，其中有正方形切割术，凡一百有余．近又有七巧图，作者黄伯思自序署“绍熙甲寅岁十二月”（1194年），书中搜罗了1600种图形，盖游戏之具，两张3X1的中桌和三张2X1的短桌．这七张桌子可以组合成广狭不同，足以排闷破寂;&荷兰作家高罗佩在他的小说中写了一个哑巴男孩用七巧板拼字来补充他的手势．据说法国拿破仑被放逐后就常常玩七巧板来消磨岁月．&&nbsp、平民百姓无不咸宜的消遣游戏;七巧板的发明可能在18世纪初，时间颠倒;“燕几”包括两张4X1的长桌、山，有人据此斥为伪记．&nbsp、形式多样的实用桌、达官贵族，具体面微：这是一种男女老少，其变化之式，为戈汕所作．严瀓曾为此书作序（陆以湉误以为严瀓所作）．戈汕字庄乐;&nbsp，大约在1805年出版的《新编中国儿童谜解》中有24幅七巧图并附有一份木制的七巧板．随后;在欧洲;&nbsp.baidu今天.baidu.hiphotos，有误）
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其他2条回答
由唐代的燕几演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图板玩具。
七巧板的相关知识
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出门在外也不愁什么是十二级体系？
2010 年，学而思经过7年的积累沉淀和反复调研，推出了全国唯一的完整小学数学思维训练体系——“小学数学智力开发课程十二级体系”，简称“十二级体系”。该体系在全国著名数学教育家李伟固教授、余其煌教授、周春荔教授、陶晓永教授的指导下，由一批全部来自清华北大等重点学府、拥有辉煌竞赛及培训战绩的学而思教育核心教研团队研发而成。2014年暑假，学而思总结过去3年的使用经验，推出“新十二级体系” 新体系将教学模块划分为小学生必会的八大问题：“计算问题、应用问题、行程问题、图形问题、整数问题、计数问题、组合问题、综合问题”，结合精美的新版教材，真正做到让学习更有效！
为什么建立十二级体系？
经过调研我们发现，在学习课外数学的过程中，大量的孩子和家长苦于“学习不系统”、“没有成型的讲义”和“不知道哪些要学哪些不用学”。在这种大环境下，十二级体系应运而生。十二级体系的优势在于：（1）体系完善，从兴趣培养、模块梳理到杯赛备考、小升初冲刺，面面俱到，有条不紊。（2）编排科学，低年级深入浅出、激发兴趣，中年级螺旋上升、培养能力，高年级针对性强、冲刺杯赛和小升初。（3）分层教学，因材施教，结合精美的彩版本纸质讲义和 网校在线直播授课，辅导老师全程跟踪陪同学习，思维与技巧同练，应试与趣味兼顾。
十二级体系如何实现？
十二级体系包括“优秀儿童智力开发体系”（简称“优秀体系”）和“超常儿童培养体系”（简称“超常体系”）两个结构统一的部分。在学而思网校的线上教学中，优秀体系主要在强化班，竞赛班等班型实施，超常体系则在实验班中使用。两个体系大纲统一，但难度梯度不同，适合于不同基础的学生。合适的才是最好的。每一位学生在报名之前，都需进行入学测试，测试通过的孩子可进入优秀体系的合适班次学习。此外，我们每年举行四次实验班选拔考试，在考试中表现优异的学生可进入实验班学习。
【学而思小学数学十二级体系】一至二年级 —— 激发兴趣 培养习惯
一年级秋季
一级 加加减减我会算
学习加减法的巧算，认识小括号的意义；
提高学生的计算速度；
二级 我会换一换
初步学会简单的等量代换；
培养方程思想；
一年级寒假
三级 突破加、减竖式
学会用竖式的方法计算二位数加减法；
掌握进位退位的方法；
学会改正错误的竖式题目；
学会填写简单的竖式数字谜；
四级 图文算式
通过等量代换的思想来学习图文算式；
通过代换求出未知图形所代表的数；
一年级春季
五级 巧算加减法
学习掌握加减法巧算的两个核心基本点：凑整和“抱”符号搬家；
六级 钟表数学
进一步认识时间，能认识钟面上的任意时刻；
会计算从某一个时刻到某一个时刻经过的时间；
二年级暑假
七级 趣味乘法
根据表内乘法进行简单的表内除法计算；
综合乘除法的意义解决乘除法应用题；
八级 趣味除法
通过等量代换的思想来学习图文算式；
通过代换求出未知图形所代表的数；
二年级秋季
九级 速算与巧算
进一步系统掌握加减法的巧算和速算方法；
能够利用方法进行混合运算及递等式过程书写；
二年级寒假
十级 有余数的除法
理解有余数除法的意义，明白余数要比除数小的道理；
会解答有余数除法的应用题，初步将除法用于解决周期问题；
二年级春季
十一级 巧算加减法
通过中间数求和、高斯求和及分组计算求和方法的学习，强化提高加减法计算能力；
二年级春季
十二级 等式加减法
通过简单的图形算式，学习等式加减抵消的方法；
根据数量关系写出等式，解决简单应用题；
一年级暑假
一级 加减法应用初步
学会看图理解题意，并能用语言文字描述题目的意思；
进一步通过加减计算本源含义，列式来解答生活中常见的应用问题；
通过“多、少”解题，培养学生的理解能力和语言表达能力；
一年级秋季
二级 排队问题
解答相应的计算队列总人数或部分人数的应用题；
学会画图的方法来解决问题；
三级 加减法应用进阶
学会读题并解简单的应用题；
利用加减法算理列式来解答问题；
一年级寒假
四级 巧移物体
通过画图或摆一摆游戏，让学生明确多和少的概念；
怎样把多的部分平分移到少的部分达到平衡或相等；
一年级春季
五级 加减法应用综合
进一步学习“比多比少”的应用题及简单的倒推问题；
学会简单的画图分析；
六级 间隔之谜
源于实际情境，归纳总结3种间隔类型；
有趣的植树问题；
二年级秋季
七级 有趣的植树问题
掌握植树问题涉及的四种基本类型；
根据具体的情况判断不同的植树问题，灵活解决一些实际问题；
八级 逆向思考
利用倒推法求未知数并解决一些简单的还原问题应用题；
培养孩子逆向思考的思维方式；
九级 排队中的学问
通过画图法，解决复杂的排队问题；
十级 解应用题
通过解三步应用题，让孩子找到解答应用题的一般方法；
通过排除题目中的多余条件，找到隐藏条件等方式，锻炼孩子审题的能力；
学会用不同的方法解题，达到举一反三的效果；
二年级寒假
十一级 认识倍
第一次系统接触线段图，进而掌握一份数、份数、总数三量之间的对应关系；
解决有关“倍”的简单应用题；
十二级 鸡兔同笼问题
通过简单的鸡兔同笼问题，来引导孩子学习画直观图；
以数形结合方式引出假设法，帮助孩子更形象的理解；
二年级春季
十三级 移多补少应用题
在画图的基础上，引导学生利用除法来解答移多补少的应用题；
十四级 和差问题
掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备；
总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题；
十五级 重叠问题
通过画图的方法找到重叠部分来解答问题；
初步感知包含与排除的关系；
十六级 猜猜他几岁
利用年龄问题中常见的数量关系，解答生活中一些简单的年龄问题；
二年级春季
十七级 线段图综合
进一步熟悉线段图画法，通过抓住重点字，判断是否使用线段图，并讲解线段图的经典题型；
一年级暑假
一级 线角初步
认知基础图形：线和线的分类；角和角的分类；两条直线之间的位置关系；
平面图形计数初步：数线段的方法、数各类角的方法；
培养学生的图形感知能力角的方法；
二级 折叠分割思想
回忆常见平面图形，了解其特征；
认识各种按角分类的三角形及按边分类的三角形；
通过图形折叠培养孩子分割图形的意识，增强图形认知能力；
一年级秋季
三级 感受对称之美
探究对称图形并联系生活；
通过动手操作让学生感受对称图形的美，并解决实际问题；
一年级寒假
四级 剪拼图形
学习解决图形剪、拼及剪拼综合的常用方法；
为面积相关知识做铺垫；
二年级暑假
五级 图形七十二变
通过折一折、画一画、拼一拼等动手操作的方式，找到不同的分割方法；
初步感知图形之间的联系，从而培养孩子的动手能力和空间想象能力；
二年级寒假
六级 图形的分割
研究常见立体图形的展开图，会根据展开图制作长方体，正方体；
把平面图形剪拼成其它图形，培养观察能力和动手操作能力；
二年级春季
七级 巧求周长
理解周长的意义，熟练长方形和正方形周长的计算方法消的方法；
根据周长求长方形的长或宽，正方形的边长；
会把简单不规则图形转化成规则图形来计算周长；
一年级春季
一级 奇数与偶数初步
认识奇数与偶数及其相加减的特性，会用数的奇偶性解决一些简单实际的生活问题；
一年级春季
二级 数的拆分
研究关于自然数的拆分问题；
使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法；
一年级暑假
一级 统计初步
学习收集和整理数据的一些简单方法,学会分析表格中的数据的意义；
结合逻辑推理等方法解决一些应用性问题；
一年级秋季
二级 有趣的平面图形
简单复习各种平面图形；
运用巧妙的方法来数各类平面图形；
培养学生有序计数的能力；
三级 有趣的立体图形
认识和分辨常见的立体图形（顶点、线、面）；
运用巧妙的方法来数各类立体图形，培养学生的空间相像能力；
一年级春季
四级 图形的计数
根据所学巧算的方法来进行图形的计数；
灵活掌握有规律图形计数的方法；
五级 我会排一排
渗透简单的排列、组合的数学思想方法；
初步培养学生有顺序、全面地思考问题的意识；
六级 付钱的方法
让学生会计算所付人民币的总钱数；
学习列表法和枚举法；
七级 神奇的概率问题
初步体验概率的意义；
结合经验对一些事情发生的概率进行比较、判断并能简单地说出原因；
二年级暑假
八级 数数中的枚举
培养孩子有序思考问题的能力；
把这种有序思考的思维方式应用到生活中；
九级 巧数图形
学会不规则图形的计数方法；
用所学乘法进行计数，巩固对乘法的实际应用，渗透数形结合思想；
十级 你有几种答案
培养孩子有序思考及画图记录等学习习惯；
打破定势思维，多角度思考问题，达到思维发散的目的；
二年级秋季
十一级 飞速图形计数
学习规则图形及不规则图形的计数；
掌握有序枚举及分类计数两大重要方法；
二年级寒假
十二级 枚举法的妙用
系统梳理枚举法来解答的典型问题，掌握一一列举的要点；
培养有序思考的方式和习惯；
二年级春季
十三级 几何计数问题进阶
通过观察和找规律数复杂平面图形个数；
通过动手切割研究简单的染色问题，进而培养学生空间感；
一年级暑假
一级 推理比较
借助工具和数学方法进行长短、轻重的感知和比较；
培养学生的观察、分析、推理的能力；
二级 时间统筹
复习钟面、几时、几时半，学习几时几分及简单的统筹安排时间的问题；
让学生学会认识时间，合理安排时间；
三级 方向与坐标
根据行、列及东西南北确定位置；
学会用“数对（坐标）”表示物体的具体位置；
培养学生的空间认知能力，发展学生的空间观念；
四级 叠加覆盖问题
初步理解叠加和覆盖的含义；
锻炼孩子观察能力，学会归纳总结，用语言和文字表达自己的想法；
五级 益智趣题
学到解答智力趣题的方法；
一年级秋季
六级 数数与比较
学会区别基数和序数；
学会大于号和小于号的使用，会按大小排列自然数，比较数的大小；
培养学生的观察能力及有序思考的思维方式；
七级 找规律画图
会找简单的图形规律，包括形状，数量，方向，位置，颜色等，培养学生发现、总结、归纳的学习能力；
八级 找规律填数
会找最简单的数列的规律；
九级 神奇的数谜
会通过推理试填完成数字方块游戏；
锻炼孩子的数感、构造能力，提高孩子的数学兴趣；
一年级秋季
十级 火柴棒游戏
通过动手操作，让学生体会到火柴棍游戏的乐趣；
培养学生的动手操作能力，启发学生的智慧；
十一级 我会动脑筋
从多角度多方面来解答问题；
通过一些智力趣题的学习，培养学生灵活、敏捷的思维能力；
十二级 思维游戏
通过动手操作、推理及逆向思维，培养学生的思维能力；
一年级寒假
十三级 巧填算符
填符号，学会用倒推法来解决填符号的问题；
十四级 数学乐园
简单的逻辑分析题目及简单的图形等分知识；
一年级春季
十五级 智趣推理
过创设情景，让学生经历对生活中某些现象推理、判断的过程；
学会用排序、画表等多种方法进行推理判断；
十六级 有趣的数字谜
根据竖式的结构及数字的特点，找出“关键位置”，求得未知数；
十七级 有趣的数阵图
通过简单的填数字游戏“巧填数字”，初步感知数阵，培养学生的思维能力；
引导学生优先填关键位置找到解题的钥匙；
一年级春季
十八级 趣题巧解
全面考虑，开动脑筋解答数学趣题；
启发学生的发散思维，培养学生的分析能力；
二年级暑假
十九级 动手变一变
学会通过移动物体来改变物体本身的形状和顺序；
锻炼动手操作能力和推理能力，开发孩子思维；
二十级 有趣的推理
进一步学习等量代换推理、图文算式推理、以及逻辑推理三个方面的推理知识；
培养孩子的逻辑思维能力及代数思想；
二十一级 数学乐园
把暑假所学知识编成谜语和故事的趣味形式，引导孩子进行巩固复习；
二年级秋季
二十二级 有趣的一笔画
通过游戏发现一笔画的规律，会判断哪些图形能一笔画成，培养孩子探究图形奥秘的兴趣；
能用一笔画解决一些生活类应用题；
二十三级 发现图形规律
会找复杂的图形规律，包括旋转以及位置的变化等，从而提升孩子的观察分析能力；
二十四级 发现数列规律
通过观察典型的数的规律，以及图形中数的运算规律，让孩子系统掌握观察规律的方法；
二十五级 合理安排
让孩子掌握统筹安排的方法，并能够在生活中进行迁移应用；
二十六级 巧填算符
通过倒推法和分组法的学习，能够根据要求添加运算符号使算式成立，进一步培养孩子数感；
二年级秋季
二十七级 摆小棒
通过火柴棒拼图及算式变换，体会火柴棍游戏的乐趣，锻炼孩子的动手操作能力，启发思维，开发智力；
二十八级 巧解生活趣题
通过趣题的学习锻炼孩子的思维，引导孩子从不同的角度来思考问题，培养全面考虑问题的能力；
二十九级 游戏中的数学
通过运算数字方块和经典数独等趣味题目的讲解，寓教于乐，锻炼孩子的数感、构造能力，激发孩子的数学学习兴趣；
二年级寒假
三十级 有趣的自然数串
观察力训练，较复杂数列规律及通过除法运算的规律来填数；
根据规律以递推的思考方法求某个数或者总个数；
自然数串在生活中的趣题；
二年级春季
三十一级 有趣的周期问题
通过仔细观察事物的排列次序，观察它们的规律，找到周期；并能根据周期现象，解决实际应用问题；
三十二级 推理综合
借助表格来进行分析判断解决条件型逻辑推理；抓住题目中相互矛盾的条件来进行真假判断型推理；
三十三级 数阵图
通过简单的填数字游戏巧填数字，初步感知数阵，培养学生的思维能力；引导学生发现数阵的简单规律，通过重叠数来找到解题的钥匙；
三十四级 数学广角
通过动手操作学习倒油取水问题，进行条件判断分析；
通过实际动手测量，判断物品的真假；
三十五级 经典数学游戏
通过一些好玩的PK游戏，让孩子初步感知什么是必胜策略。并学习通过分析和计算，设计出必胜或必输的策略方案；
【学而思小学数学十二级体系】三至六年级 —— 模块梳理 系统学习
三年级暑假
一级 巧算加减法
加法运算律、去括号和添括号；
凑整、基准数法求和；
二级 乘法初识
竖式，两位数乘一位数，两位数乘两位数，两位数乘以三位数；
末尾含0的，中间带0的乘法；
三级 除法初识
竖式，多位数除以一位数，多位数除以两位数。学习试商，接触估算思想；
三年级秋季
四级 巧算乘法
乘法运算律、提取公因数；
凑整思想、用于凑整计算的一些特殊数；
五级 巧算除法
除法运算律、凑整思想，用于凑整计算的一些特殊数；
六级 分数初识
简单认识分数、比较同分母分数大小、同分母分数加减法；
七级 等量代换
对一个算式或等式进行等量代换操作；
整体思想；
三年级寒假
八级 速算巧算之四则运算
加减乘除法的运算律；
拆数重组的技巧、凑整思想；
九级 字母表示数
用字母表示数；表示一个式子；
用等号，大于号，小于号连接这样的数或式子；
三年级春季
十级 小数的认识
小数定义；
小数的比较大小；
小数点的含义；
十一级 等差数列初步
等差数列的定义，通项公式，项数公式，求和公式，中项定理，连续奇数和公式；
十二级 简易方程
一元一次方程定义、移项、系数化1；
四年级暑假
十三级 等差数列进阶
复杂等差数列问题、等差数列应用题；
等差数列构造类问题判断的过程；
四年级秋季
十四级 定义新运算初步
简单的定义新运算；
可以结合基本的速算技巧；
十五级 多位数计算
大数计算、凑整思想、归纳思想；
位值原理求解大数运算；
十六级 小数的计算
小数点移位问题；
小数加减乘除；
四年级寒假
十七级 小数巧算
通过小数点移位制造公因数、提取公因数；
十八级 数表——从日历谈起
与日历有关的长方形正方形（不讲三角形）数表问题，归纳思想；
十九级 第五种运算
乘方的认识、运算、性质；
简单的平方差认识；
四年级春季
二十级 整数与数列
复习整数型巧算复习等差数列；
简单整数裂项；
二十一级 方程与方程组
复习一元一次方程解法；
二元方程组解法（不讲应用）；
五年级暑假
二十二级 分数乘除
分数进一步认识、分数分类、分数性质、分小互化；
假带互化、倒数、简单约分、分数乘除；
二十三级 分数加减
异分母比较大小；
分数的基本加减运算；
二十四级 比和比例
比和比例定义、正比和反比、比例方程；
其他模块的比例表示；
五年级秋季
二十五级 循环小数
循环小数化分数的法则；
错位相减法、分数与循环小数的互化；
二十六级 定义新运算进阶
有关分数的定义新运算；
方程思想；
五年级寒假
二十七级 数表——从杨辉三角谈起
从杨辉三角到其他与三角形相关的数表；
五年级春季
二十八级 分数四则混合运算
分数小数的四则混合运算；
提取公因数；
二十九级 比较与估算
分数比较大小；
简单放缩法；
六年级暑假
三十级 分数裂项
分数裂项；
裂和与裂差；
三十一级 整数裂项与通项归纳
简单整数裂项；
通项归纳；
六年级秋季
三十二级 数形结合
平方和公式；
立方和公式；
代数公式的几何表示；
六年级寒假
三十三级 计算问题综合选讲（一）
整数类的计算复习；
六年级春季
三十四级 计算问题综合选讲（二）
分数类的计算复习；
三十五级 计算问题综合选讲（三）
数列数表的复习；
三年级暑假
一级 平均数初步
连续数平均数问题添括号；
调和平均数、基准平均数；
二级 归一问题
简单的归一问题，求单位量，算结果；
三年级秋季
三级 和倍问题
认识单位名称；
认识倍、简单和倍；
画线段图；
四级 差倍问题
简单差倍、画线段图；
五级 周期问题
余数初步、事物循环变化问题；
隐含周期的问题、双周期问题；
六级 鸡兔同笼
简单鸡兔同笼问题；
七级 盈亏问题
简单盈亏问题（盈盈、亏亏、盈亏）；
三年级寒假
八级 和差倍
和差，和倍，差倍综合；
线段图综合；
九级 倒推与图示
简单的还原问题、逆向思维；
复习植树，实心方针；
空心方阵中的基本数量关系；
其他类型的点阵比如三角形阵、正六边形阵等等；
三年级春季
十一级 年龄问题
简单年龄问题；
差不变思想；
十二级 简单统计
直方图和折线图；
分析简单的统计图并提出合理化建议；
应用性统计问题；
十三级 简易方程的应用
简单一元一次方程应用题；
四年级秋季
十四级 列方程解应用题
去括号，移项；
解方程步骤、解较复杂一元方程应用题；
十五级 平均数进阶
复杂的平均数问题；
五年级暑假
十六级 列方程组解应用题
找等量关系；
用方程组解应用题；
十七级 牛吃草
工作总量增加或减少的简单牛吃草问题；
五年级秋季
十八级 分数应用题
分数和小数的应用题；
量率对应（不讲方程）；
十九级 工程问题初步
简单工程；列表；
五年级寒假
二十级 比例应用题
量率对应思想；
寻找1份量、不变量；
五年级春季
二十一级 浓度问题
简单的浓度问题；
简单的十字交叉；
六年级暑假
二十二级 应用题综合（一）
和差，年龄，盈亏，鸡兔，牛吃草等应用题的综合复习；
比较算术与方程的方法；
二十三级 应用题综合（二）
分百，比例应用题；
六年级秋季
二十四级 经济问题
简单的经济问题；
二十五级 工程问题进阶
较复杂的工程问题；
二十六级 应用题综合（三）
复习工程问题，浓度，经济等应用题；
方程思想；
六年级寒假
二十七级 应用问题综合选讲
应用题模块复习；
三年级春季
一级 路程速度与时间
路程速度时间的定义和简单应用；
平均速度；
画图方法渗透1；
四年级暑假
二级 相遇问题
简单相遇问题；
画图方法渗透2；
三级 追及问题
简单追及问题；
画图方法渗透3；
四年级秋季
四级 环形跑道
简单环形跑道中的相遇与追及；
四年级秋季
五级 火车过桥
简单火车过桥问题；
四年级春季
六级 流水行船
用线段图及方程解简单流水行船；
七级 相遇与追及综合
流水行船、火车过桥、环形跑道中的相遇与追及；
五年级秋季
八级 电梯与发车
简单的电梯与发车问题；
九级 方程法解行程
总结之前学过的所有能用方程的方法解的行程问题,涉及多人行程；
五年级寒假
十级 时钟问题
时钟上的行程；
不正常钟表与真实时间的比例问题；
五年级春季
十一级 比例法解行程
行程中的正比例反比例；
用比例求解的行程问题；
涉及多人行程；
六年级暑假
十二级 多次相遇与追及
简单的多次相遇与追及；
简单柳卡图；
六年级球季
十三级 变速问题
简单的变速问题；
综合环形跑道；
六年级寒假
十四级 行程问题综合选讲
行程模块复习；
三年级暑假
一级 巧求周长
通过平移法解决一些不规则的平面图形周长；
三年级秋季
二级 长方形与正方形
平面图形面积；
简单长方形和正方形的面积；
长方形和正方形简单性质；
三年级寒假
三级 角度初识
角度定义、角度分类；
有关长方形正方形的角度计算；
线与线的关系（平行，相交，垂直）；
互余与互补；
三年级春季
四级 平行四边形与梯形
平行四边形定义，画高，面积和周长公式；
梯形定义，画高，面积和周长公式；
四年级暑假
五级 三角形初步
三角形定义、三角形分类；
三角形角度计算、内角和、简单三角形三边长度定理；
六级 三角形进阶
三角形画高、三角形面积公式；
三角形，长方形综合；
简单等积、简单勾股定理；
四年级秋季
七级 图形的分割与剪拼
构造类图形分割；
七巧板问题；
任意图形二等分；
四年级寒假
八级 格点与割补
图形割补法；
用格点与割补法再次验证基本图形面积公式；
用毕克公式解一些格点问题；
四年级春季
九级 等积变形
平行线间的等积原理；
等底等高的三角形；
十级 平移、旋转与对称
运用等积变形；
中心对称、轴对称；
十一级 一半模型
简单的面积一半模型；
简单辅助线构造；
五年级暑假
十二级 比例模型
三角形比例模型（不讲辅助线）；
简单相似（金字塔，沙漏）；
五年级秋季
十三级 鸟头模型
简单鸟头模型；
十四级 蝴蝶模型
四边形蝴蝶；
梯形蝴蝶；
共边定理；
十五级 燕尾模型
简单燕尾模型；
五年级寒假
十六级 长方体与正方体
长方体正方体定义、性质；
十七级 圆与扇形初步
圆的历史、圆与扇形定义、性质、公式；
简单的整体减空白；
五年级春季
十八级 勾股定理
勾股定理历史、勾股定理定义、勾股定理的证明；
平方差公式；
构造的简单勾股数、常见勾股数；
十九级 圆与扇形进阶
掌握（1）弓形、（2）镰刀形、（3）谷子形等圆中的基本图形、（4）环形；
曲线形面积中容斥原理的应用；
二十级 立体图形和空间想象
已知三视图求解；
六年级暑假
二十一级 切片与染色
染色公式；
二十二级 弦图
复习勾股定理；
由弦图求解较复杂的几何问题；
二十三级 特殊图形
正六边形，正十二边形等一类特殊图形的性质与特点；
六年级秋季
二十四级 圆柱与圆锥
圆柱圆锥定义；
公式（不讲旋转）；
二十五级 复合图形分拆
模型复习、添加辅助线技巧；
二十六级 旋转与轨迹
圆柱圆锥的旋转；
圆中的滚动扫过面积；
六年级寒假
二十七级 图形问题综合选讲（一）
平面几何中直线型的复习；
六年级春季
二十八级 图形问题综合选讲（二）
平面几何中的曲线型的复习；
二十九级 图形问题综合选讲（三）
立体几何的复习；
三年级秋季
一级 奇数与偶数
奇数与偶数的运算规律；
解决简单的实际问题；
三年级春季
二级 带余除法初步
复习余数，倍数概念；
简单带余除法；
被除数、除数、商、余数四者关系；
三级 页码问题
简单的与页码数字有关的数学问题；
四年级暑假
四级 整除特征初步
简单的尾数判断法，数字和判断法；
四年级秋季
五级 整除特征进阶
整除性质（传递性；和；差）；
数判断法，数字和判断法推广（99）；
数段差判断法（7,11,13）；
四年级寒假
六级 质数与合数初步
因数倍数定义、质数合数定义、特殊质数（2,3,5）；
有关特殊质数的简单构造和应用；
因数质因数区别、分解质因数；
有关分解质因数的数论问题；
四年级春季
七级 进位制初步
进制的认识、进制的历史；
进制的计算、进制的判断；
五年级暑假
八级 质数与合数进阶
因数个数；
因数个数定理的正反应用；
五年级秋季
九级 因数与倍数初步
复习因数倍数定义；
整除性质（积）；
互质概念；
最大公因数与最小公倍数（各种方法）定义；
最大公因数和最小公倍数的应用；
十级 神奇的9
综合数字谜和数论的弃九法；
五年级寒假
十一级 因数与倍数进阶
因数与倍数的性质；
因数个数定理的正反应用；
短除模型；
五年级春季
十二级 带余除法进阶
余数定义、余数性质；
特殊数余数判定、周期性问题；
余数应用题；
十三级 同余
同余定义、同余符号；
同余性质、弃九法复习；
十四级 不定方程
用同余方法解二元一次不定方程；
十五级 完全平方数
常见平方数、平方数性质、平方数特征；
简单应用、平方差公式；
十六级 位值原理
用位值原理解决某些数论问题及简算问题；
六年级暑假
十七级 韩信点兵
从韩信点兵引出中国剩余定理；
利用四大技巧解决"物不知数"的问题；
六年级秋季
十八级 数论中的规律
总结整除规律并归纳其他数的整除；
数论内部知识体系综合；
十九级 进位制进阶
进制间的转化；
确定进制；
进位制构造；
六年级寒假
二十级 整数问题综合选讲（一）
数论中整除的复习；
六年级春季
二十一级 整数问题综合选讲（二）
数论中因倍质合的复习；
二十二级 整数问题综合选讲（三）
数论中余数的复习；
三年级秋季
一级 字典排列法和树形图
简单的字典排列法和树形图；
有序的分类思想；
三年级春季
二级 标数法
利用标数法解决最短路线问题；
标数法应用题2；
三级 图形计数初步
简单的数方格、数长方形；
数三角形；
四年级暑假
四级 加乘原理初步
综合前几讲分类枚举法；
简单加法原理、简单乘法原理；
简单加乘原理综合问题；
四年级秋季
五级 图形计数进阶
综合加乘原理数图形；
四年级寒假
六级 包含与排除
简单容斥公式（两种事物）；
四年级春季
七级 加乘原理进阶
复杂的加乘原理综合类问题；
五年级暑假
八级 枚举法
复杂枚举；
复习加乘原理；
九级 排列组合初步
排列组合定义（不讲方法）；
阶乘的定义；
简单应用题；
十级 容斥原理
复习两量容斥原理；
三量容斥原理；
容斥原理中的最值问题；
五年级球季
十一级 排列组合进阶
复习排列组合；
插板法，捆绑法，插空法；
十二级 图形计数综合
用加乘原理、排列组合、容斥原理数组合图形；
递推思想；
五年级春季
十三级 概率初识
简单概率；
概率中的加乘原理；
六年级春季
十四级 计数问题综合选讲
计数模块的复习；
三年级暑假
一级 破译加减法竖式
加减法的竖式数字谜，填空格及含有字母的数字谜问题；
二级 游戏中的数字问题
本讲的重点应用的知识范比较广，但是本质的重点不变，就是挖掘隐含条件与寻求不变量（扫雷）；
三年级秋季
三级 多笔画游戏
一笔画问题的拓展，多笔画问题与一笔画的转换；
四级 逻辑推理初步
简单的假设法与列表法；
三年级春季
五级 巧填算符
24点游戏；
24点游戏变形；
填写运算符号完成算式；
六级 点线排布
九点九线问题；
n点n线问题；
四年级暑假
七级 破译乘除法竖式
乘除法竖式数字谜；
含有字母的乘除法竖式数字谜问题；
八级 逻辑推理进阶
复杂的表格法；
假设法的逻辑推理；
四年级秋季
九级 体育比赛中的数学
足球比赛赛制；
相关逻辑推理问题；
十级 最值问题初步
最值原理（和一定差小积大）；
十一级 数阵图初步——从幻方谈起
数阵图简单认识；
十二级 操作类智巧趣题
火柴棍、翻杯子；
称重、称伪币；
四年级春季
十三级 统筹与最优化
安排顺序、安排最优方案；
十四级 抽屉原理初步
简单抽屉原理；
极端思想；
构造简单抽屉；
十五级 最值问题进阶
构造类的最值问题；
十六级 破译横式
用奇偶分析、整体分析、分类讨论、枚举试算等技巧破译字母横式；
十七级 数阵图进阶
较复杂数阵图进阶；
五年级暑假
十八级 棋盘中的数学
简单方格间隔染色的方法；
用染色判断图形覆盖问题；
十九级 数阵图综合
复习数阵图；
在数阵图进阶的基础上综合；
二十级 必胜策略
拿火柴（包括质数类），石子，划方格等游戏中的必胜策略；
对称思想；
五年级秋季
二十一级 数字谜中的最值
极端思想；
数字谜和最值综合；
六年级暑假
二十二级 逻辑推理综合
涉及到计算的逻辑推理；
体育比赛；
综合性逻辑推理；
二十三级 最值问题综合
总结两讲最值问题；
最值定理；
构造中的最值；
综合类的最值；
六年级秋季
二十四级 抽屉原理进阶
复杂的抽屉原理；
六年级寒假
二十五级 组合问题综合选讲
组合原理的复习；
三年级暑假
一级 找规律——数列与图形
找典型的数列的规律；
从简单到复杂找图形规律，包括旋转以及位置的变化等；
画图方法渗透1；
五年级暑假
二级 分组与配对
高斯求和；
分组配对思想；
计算，数论，计数等问题中的分组与配对；
五年级春季
三级 从反面情况考虑
几何，数论，计数中的反面情况考虑；
六年级暑假
四级 归纳与递推
找规律计数；
斐波那契数列的应用；
汉诺塔递推关系的应用；
五级 数论中的组合
数论中的最值与计数；
六级 从整体考虑
由换元引出整体打包的思想；
六年级秋季
七级 算两次
方程思想；
综合其他模块（行程，计数）；
八级 从极端考虑
几何、数论、行程中的极端性思想；
九级 数字谜中的计数
数字谜与计数的综合；