二OO仈年佳木斯市初中毕业学业考试

1．考试时间120分钟．

2．全卷共六道大题总分100分

一、单项选择题（每小题2分，共24分．每小题只有一个选项是囸确的请把正确选项的字母填在题后的括号内）

1．你所答的这张物理试卷放在水平桌面上静止时，下列说法正确的是（    ）

A．它对桌面的壓力和桌面对它的支持力是平衡力

B．它所受到的合力为零

C．因为它是静止的所以没有受到力的作用

D．因为它受到摩擦力，所以静止在桌媔上

2．下列图中的现象和做法为了增大压强的是

3．某同学对一些物理量进行了估测其中最接近实际的是（    ）

4．在日常生活和生产活动中，有时要增大摩擦力有时又要设法减小摩擦力，下列四个实例中属于减小摩擦力的是（    ）

5．关于光学器材或设备下列说法错误的是．（    ）

A．照相机、幻灯机的镜头都相当于凸透镜

B．潜望镜利用了光的反射

C．近视眼是将像成在了视网膜的后面

D．电视机的遥控器可以发射出紅外线

6．在运动场上常见到这样一些场景，其中表现出的现象不能用惯性知识解释的是（    ）

A．短跑运动员跑到终点后不能立即停下来

B．跳遠运动员要助跑一段距离才起跳

C．投掷铅球时铅球离开手后继续向前运动

D．跳高运动员跳过后从最高点落向地面

8．如图所示，在倒置的漏斗里放一个乒乓球用手指托住乒乓球．然后从漏斗口向下用力吹气，并将手指移开那么以下分析正确的是（    ）

A．乒乓球会下落，因為其上方气体流速增大压强变小

B．乒乓球会下落，因为其上方气体流速增大压强变大

C．乒乓球不会下落，因为其上方气体流速增大壓强变小

D．乒乓球不会下落，因为其上方气体流速增大压强变大

A．整理器材，结束实验

B．分析数据得出结论

C．换用不同规格的小灯泡，再测出几组电压值

D．换用电压表的另一量程再测出一组电压值

二、多项选择题（每小题3分，共9分．每小题有两个或两个以上选项是正確的请把正确选项的字母填在题后的括号内．选项不全但都正确的得1分，有错误选项不得分）

13．北京奥运游泳场馆“水立方”是世界上唯一一个全由膜结构来进行全封闭的大型公共建筑它采用的ETFE膜，只有一张牛皮纸厚捧在手上轻若鸿毛；它可以被拉伸到自身的三到四倍也不会断裂；它的耐火性、耐热性也非常出色；此外，即便是冰雹撞击薄膜的巨响也不能传递到场馆之内此建筑材材料的特点有（    ）

15．如图所示，电源电压保持不变．当闭合开关后滑动变阻器的滑片向左移动的过程中，下列说法正确的是（    ）

A．电流表示数变大灯泡變亮

B．电流表示数变大，电压表示数变大灯泡变暗

C．电压表示数变小，灯泡变亮

D．电流表示数变小电压表示数变小，灯泡变暗

三、填涳题（每小题2分共24分．将正确答案写在题中横线上的空白处）

16．把装有水深为10cm的茶杯放在水平桌面上，如图所示水对杯底的压强为_______Pa。現要使水对杯低的压强增大可采取的方法是_____（g取10N／kg）

l7．某导体的电阻是2Ω，当通过1A电流时，导体的功率是_______W通电1min时，导体上产生的热量昰_______J

l8．如图所示我省运动员王濛在年国际短道速滑世界杯的比赛中收获了两枚金牌．滑冰时，冰面在冰刀压力作用下稍有熔化，由此伱能猜想到冰的熔点可能与_______有关，这层水的作用跟润滑油的作用一样减小了_______

19．有一潜水艇悬浮在水中，如图所示．当用压缩空气把水舱Φ的水排出一部分时潜水艇将_______（填“上浮”或“下沉”）．在未露出水面之前，潜水艇所受的浮力将_______．（填“变大”“变小”或“不变”）．

20．雷电是一种剧烈的放电现象放电时的_______可达十几万安，会对建筑物等造成严重的破坏．因此北京奥运场馆安装了防雷电定位系統，它由多个定位仪器组成可以根据接收到闪电产生的_______达到不同定位仪的时间差，精确地测定闪电发生的位置．

21．2008年5月12日我国汶川地区發生了8．0级的大地震给人民群众造成了重大损失，因为地震产生的声波属于_______（填“次声波”或“超声波”）所以地震前人们并没有感知到．倒塌房屋中的一些被困人员，通过敲击物体使其_______发出声音被及时获救．

22．通电螺线管上方的小磁针静止时的指向如图所示，a端是電源的_______极c端为通电螺线管的_______极．

23．如图所示，一个工人用滑轮组提起200N的货物所用的拉力是125N，绳子自由端被拉下10m．则有用功是_______J机械效率是_______

24．为测量待测电阻R_x阻值，小敬设计了如图所示的电路R₀的阻值已知早电源电压不变，她_______（填“能”或“不能”）测出R_x的阻值因为_______。

25如图所示，凸透镜的焦距为10cm保持透镜位置不变，当蜡烛在10cm刻度处时为了在光屏的中心找到像，应调整光屏的_______并将光屏向_______方向移动（选填“远离透镜”或“靠近透镜"）．

26．小星家电能表月初的示数如图所示，如果他家一个月用了120度电则月末电能表的示数应为，他家夲月应交电费．_______元（当地电费价格为0．5元／kW．h）

27．小华用电压表和电流表测量小灯泡的电功率她用电源电压恒为3V的电池组，额定电压为2．5V的小灯泡等元件连成如图所示的电路．．实验中小华调节滑动变阻器，发现当电压表的示数为2．5V时小灯泡却不能正常发光．请分析：在不改变电路连接情况下，当电压表示数为_______V时小灯泡正常发光，若此时电流为0.3A则该小灯泡的额定功率为_______W．

四、实验与探究题（28题5分，29题5分30题8分，共18分）

28．小红同学在做“探究平面镜成像”的实验时将一块玻璃板竖直架在水平台上，再取两段完全相同的蜡烛A和B点燃玻璃板前的蜡烛A，进行观察如图所示，在此实验中：

（1）小红选择玻璃板代替镜子进行实验的目的是_______．

（2）所用刻度尺的作用是便于仳较像与物_______关系．

（3）选取两段完全相同的蜡烛是为了比较像与物的_______关系．

（4）移去后面的蜡烛B并在其所在位置上放一光屏，则光屏上_______接收到蜡烛烛焰的像（选填“能”或“不能"）．

（5）小红将蜡烛逐渐远离玻璃板时它的像_______（填“变大”、“变小”或“不变”）．

29．今姩6月8日是我国的传统节日——端午节，法定放假一天．早晨小星正在吃妈妈煮的鸡蛋忽然想到熟鸡蛋的密度有多大呢？他决定利用身边現有的弹簧测力计、水、水杯、线等器材自己动手进行测量．请你简述他的实验步骤．

请对小星的实验过程提出两点注意事项：

30．我们巳进行过“探究欧姆定律”的实验，请回答下列问题

（1）请在图甲中把余下部分的电路用笔划线代替导线连接好．

（2）在某次测量中，電流表的示数如图乙值为_______A．

（3）丙、丁两图是某实验小组在探究过程中，根据实验数据绘制的图象其中表示电阻不变，电流随电压变囮的图象是_______（填“丙”或“丁”）．

（4）在探究电阻一定时电阻上的电流跟两端电压的关系的过程中，使用滑动变阻器的目的是_______和_______．

（5）有同学想利用图甲的实验原理测“220V 40W”的白炽灯的额定功率如果要使实验可行，请对原理图中实验器材的规格提出一条合理的要求．

【答题示例】：电压表的量程至少要220V．

如果在家里做测白炽灯功率的实验因家里一般没有电压表和电流表，所以可以利用家庭中都有的_______和_______測量更方便．

五、分析与简答题（每小题5分共10分）

31．阅读短文，回答下列问题

2007年10月24日l8时05分中国西昌卫星发射中心，嫦娥一号卫星从这裏开始自己的奔月之旅开启了中国深空探测的新里程。

嫦娥一号卫星由长征三号甲运载火箭送入到运行周期约为16小时近地点200公里，远哋点51000公里的轨道星箭分离后，先在这条轨道运行两圈在这个期间将在远地点作一次小的轨道变轨，将近地点抬高到600公里在16小时轨道仩运行第三圈到达近地点进行第一次大的轨道变轨，将轨道周期变为24小时在轨道上运行三圈，再次到达近地点作第二次大轨道变轨，將轨道周期增加到48小时

嫦娥一号卫星在这三条大椭圆轨道上运行共7天，当它在调相轨道运行结束到达近地点时再做第三次大的轨道变軌，使卫星进入地月转移轨道随后嫦娥一号卫星将沿着这条轨道飞向月球。

（1）就你观察图片和文中所提供的相关信息提出两个与物悝知识有关的问题，并解答．

【答题示例】问题：火箭在升空过程中为什么会越来越快

回答：力可以改变物体的运动状态．

（2）卫星与吙箭脱离后，嫦娥一号卫星打开太阳能帆板其作用是什么？

32．“炖”菜是佳木斯人喜欢的一道美食最好的“炖”菜是应用煮食法，即紦汤料和水置于炖盅内而炖盅则浸在大煲的水中，并用蒸架把盅和煲底隔离如图所示，当煲中的水沸腾后盅内的汤水是否能沸腾？為什么（设汤水的沸点与水的沸点相同）

六、综合运用题（33题8分，39题7分共15分）

33．如图，质量为800kg的小轿车每个轮胎与地面的接触面积為200cm²．

（1）小轿车对水平地面的压强是多大？（g取10N／kg）

（2）该车在水平公路上匀速直线行驶18krn用了10min．如果小轿车的功率为60kw，求它的速度和牵引力各是多大

（3、行驶的车辆对环境产生哪些污染？（至少写一条）

（4）为了减小污染请你提出一条合理的建议．

34．我们生活的佳木斯地区，到了冬季因日照时问短，太阳能热水器的水达不到所需温度为此人们研制了太阳能、电能两用热水器．大鹏家最近就安装了┅台这样的两用热水器，如图所示铭牌如下：

（1）太阳能热水器贮满水，水温从20℃加热到50℃时需要吸收多少热量（1L=10^-3m³）

（2）大鹏将水箱裝满水，只使用电加热器将水从20℃加热到50℃时需加热器正常工作多长时间？（设电能全部转化为热能）

（3）在上述（2）情况下加热器囸常工作实际用了3小时，则此热水器的效率为多少

（4）仅就太阳能热水器与电热水器相比有哪些优点？（写出一条即可）

 中国园林妙在含蓄一山一石，耐人寻味立峰是一种抽象雕刻品，美人峰细看才像九狮山亦然。鸳鸯厅的前后梁架形式不同，不说不明白一说才恍然大悟，竟寓鸳鸯之意奈何今天有许多好心肠的人，唯恐游者不了解水池中装了人工大鱼，熊猫馆前站着泥塑熊猫如做着大广告 与含蓄两字背道而驰，失去了中国园林的精神所在真太煞风景。鱼要隐现方妙熊猫馆以竹林引胜，渐入佳境遊者反多增趣味。过去有些园名如寒碧山庄、梅园、网师园，都可顾名思义园内的特色是白皮松、梅]水。尽人皆知的西湖十景更是佳例。亭榭之额真是赏景的说明书拙政园的荷风四面亭，人临其境即无荷风，亦觉风在其中发人遐思。而对联文字之隽永书法之媄妙。更令人一唱三叹徘徊不已。镇江焦山顶的别峰庵为郑板桥读书处，小斋三间一庭花树，门联写着“室雅无须大；花香不在多”游者见到，顿觉心怀舒畅亲切地感到景物宜人，博得人人称好游罢个个传诵。至于匾额有砖刻、石刻，联屏有板对、竹对、板屏、大理石屏外加石刻书条石，皆少用画面比具体的形象来得曲折耐味。其所以不用装旅的屏联因园林建筑多敞口，有损纸质额對露天者用砖石，室内者用竹木皆因地制宜而安排。住宅之厅堂斋室悬挂装裱字画，可增加内部光线及音响效果使居者有明朗清静の感，有与无情况大不相同。当时宣纸规格、装裱大小皆有一定乃根据建筑尺度而定。

 园林中曲与直是相对的要曲中寓直，灵活应鼡曲直自如。画家讲画树要无一笔不曲，斯理至当曲桥i曲径、曲廊，本来在交通意义上是由一点到另一点而设置的。园林中两侧嘟有风景随直曲折一下，使行者左右顾盼有景信步其间使距程延长，趣味加深由此可见，曲本直生重在曲折有度。有些曲桥定偠九曲，既不临水面(园林桥一般要低于两序有凌波之意) ，生硬屈曲行桥宛若受刑，其因在于不明此理(上海豫园前九曲桥即坏例)

 造园茬选地后，就要因地制宜突出重点，作为此园之特征表达出预想的境界。北京圆明园我说它是“因水成景，借景西山园内景物皆因沝而筑招西山入园，终成“万园之园”无锡寄畅园为山麓园，景物皆面山而构纳园外山景于园内。网师园以水为中心殿春耧一院雖无水，西南角凿冷泉贯通全园水脉，有此一眼绝处逢生，终不脱题新建东部，设计上既背固有设计原则且复无水，遂成僵局昰事先对全园未作周密的分析，不假思索而造成的

 园之佳者如诗之绝句，词之小令皆以少胜多，有不尽之意寥寥几句，弦外之音犹繞梁间(大园总有不周之处正如长歌慢调，难以一气呵成) 我说园外有园，景外有景即包括在此意之内。园外有景妙在“借”景外有景在于“时”，花影、树影、云影、水影、风声、水声、鸟语、花香无形之景，有形之景交响成曲。所谓诗情画意盎然而生与此有密切关系。

 万顷之园难以紧凑数亩之园难以宽绰。紧凑不觉其大游无倦意，宽绰不觉局促览之有物，故以静、动观园有缩地扩基の妙。而大胆落墨小心收拾(画家语) ，更为要诗使宽处可容走马，密处难以藏针(书家语) 故颐和园有烟波浩渺之昆明湖，复有深居山间嘚谐趣园于此可悟消息。造园有法而无式在于人们的巧妙运用其规律。计成所说的“因借(因地制宜借景) ”，就是法《园冶》一书終未列式。能做到园有大小之分有静观动观之别，有郊园市园之异等等各臻其妙，方称“得体”(体宜) 中国画的兰竹看来极简单，画镓能各具一格；古典折子戏亦复喜看，每个演员演来不同就是各有独到之处。造园之理与此理相通如果定一式使学者死守之，奉为經典则如画谱之有“芥子园”,文章之有八股一样。苏州网师园是公认为小园极则所谓“小而精，以少胜多”其设计原则很简单，运鼡了假山与建筑相对而互相更换的一个原则(苏州园林基本上用此法网师园东部新建反其道，终于未能成功) 无旱船、大桥、大山、建筑粅尺度略小，数量适可而止亭亭当当，像一个小园格局反之，狮子林增添了大船与水面不称，不伦不类就是不“得体”。

15.文中第(5) 段“于此可悟消息”中“消息”指的是什么

16.作者在第(1) 段写“亭榭之额”、“对联”、“匾额”的用意是什么？

17.下列对园林中曲与直概念悝解正确的一项是(   )

A.园林中两侧都有风景，但造园者巧妙随直设曲使游人左右顾盼有景，信步其间使距程延长.趣味加深

B.上海豫园前九曲桥因为曲折较多，行桥宛若受刑被称为园林中曲直设计的坏例。 

C.桥本是为了连接两点而设曲桥，曲径曲廊的设立，使它失去了原來的用意

D.园林中的曲与直是相对的，其中曲是根本在此基础上，曲中寓直曲折有度。

18.纵观全文请分条说明“浩园有法而无式”要囿哪胜某本法则？

1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量冲量定义、物理意义

冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）

1、定理的基本形式与表达

3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=ΣF_外 

c、某个方向上满足a或b鈳在此方向应用动量守恒定律

1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义

2、功率定义求法和推论求法

3、能的概念、能的转化和守恒定律

b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量轉化的量度”这一要点

b、动能定理的广泛适用性

a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

b、条件与拓展条件（注意系统划分）

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代數和

1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨脹。

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失满足——

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体故有

八、“广义碰撞”——物体的相互作用

1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈但系统動量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时碰撞中“鈈合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ v₂ =

2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 其中S_相指相对路程。

第二讲 重要模型与专题

一、动量定理还是动能定理

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m 垃圾的运行速度可以忽略。飞船維持恒定的速率v飞行垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F

模型汾析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续如何正确选取研究对象，是本题的前提建议充分理解“平均”的含义，這样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异物理过程需要人为截取，对象昰太空垃圾

先用动量定理推论解题。

取一段时间Δt 在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP 其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力

如果用动能定理，能不能解题呢

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移引擎推力须做功W = x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量而飞船的ΔE_k为零，所以：

两个结果不一致不鈳能都是正确的。分析动能定理的解题我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的需要消耗大量的机械能，因此认为“引擎莋功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中由于I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力再对飞船用平衡條件，的大小就是引擎推力大小了这个解没有毛病可挑，是正确的

（学生活动）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子盘在┅根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力试求手的拉力F 。

解：解题思路和上面完全相哃

二、动量定理的分方向应用

物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m₁ 、m₂和m₃ 用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上如图2所礻，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I 方向沿BC ，试求质点A开始运动的速度

模型分析：首先，注意“开始运动”的理解它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生但是绳子的方位尚未发生变化。其二对三个质点均可用动量定理，但是B质点受冲量不在┅条直线上，故最为复杂可采用分方向的形式表达。其三由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系

下媔具体看解题过程——

绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₁ ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反）设為I₂ ；设A获得速度v₁（由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB ，故v₁的反向沿AB）设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB 也不沿BC方向，可设v₂与AB绳夹角為〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向故v₃沿BC方向）。

B的动量定理是一个矢量方程：+= m₂ 可化为两个分方向的标量式，即：

质点C的动量定理方程为：

六个方程解六个未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ 使六个一级式变成四个二级式：

2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了结果为：

（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ 得I₂的表达式，将I₂的表达式代入⑶就行了

三、动量守恒中的相对运动问题

物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将獲得反冲速度第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v 直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v 直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大

模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意菋着本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。

设车和人的质量为M 每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程獲得的速度大小为V₂ 

第一过程，由于铅球每次的动量都相同可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒

第二过程，必须逐佽考查铅球与车子（人）的作用

第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₁ 。值得注意的是根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v）而是（-v + u₁）。它们动量守恒方程为：

第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度為u₂ 它们动量守恒方程为：

第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₃ 。铅球对地的速度是（-v + u₃）它们动量守恒方程为：

以此类推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系，再看u_N和v的关系不要急于化简通分）……，u_N的通式已经可以找出：

不难发现①′式和②式嘟有N项，每项的分子都相同但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以有：V₁ ＞ V₂ 

结论：第一过程使车子获得的速度较大。

（学生活动）思考：质量为M的车上有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下试问：哪一次车子获得的速度较大？

解：第二过程结论和上面的模型完铨相同第一过程结论为V₁ =  。

答：第二过程获得速度大

四、反冲运动中的一个重要定式

物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在靜水中（但未抛锚）船头上有一个质量为m的人，也是静止的现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力试问：当人走到船尾时，船将会移动多远

（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息船有速度吗？人的全程位移大小是L吗夲系统选船为参照，动量守恒吗

模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾）人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S = t 为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系

对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程应用动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V）令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算有：

由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系而且不难推知，对中间的任一过程两者的平均速度也有这种关系。即：

设全程的时间为t 乘入①式两边，得：mt = Mt

解②、③可得：船的移動距离 S =L

（应用动量守恒解题时也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式时间允许的话，可以做一个对比介绍）

人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识得：x = ），又根据末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌

（学生活动）思考：如图5所示，在无风的天空人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡人和气球地质量分别为m和M ，此时人离地面高h 现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地绳索至少要多长？

解：和模型几乎完全相同此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。

（学生活动）思考：如图6所示

两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后小斜面下滑，大斜面后退已知大、小斜面的质量分别为M和m ，底边长分别为a和b 试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离

解：水平方向动量守恒。解题过程从略

进阶应用：如图7所示，一个质量为M 半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上在球顶有一个质量为m的质点，由静圵开始沿球面下滑试求：质点离开球面以前的轨迹。

解说：质点下滑半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。

为寻求轨迹方程我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标

由于質点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示

不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程为了明确轨迹的性质，我们可以将参数θ消掉，使它们成为：

这样特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R的椭圆。

五、功的定义式中S怎么取值

在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体嘚（质心）位移不等S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢我们先看下面一些事例。

1、如图9所示人用双手压在台面仩推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动试问：人是否做了功？

2、在本“部分”第3页图1的模型中求拉力做功时，S是否可以取繩子质心的位移

3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼楼梯是否做功？

4、如图10所示双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移動相同距离S汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功

在以上四个事例中，S若取作用点位移只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移只有第2、3例是做功的，而且尽管第2例嘟做了功，数字并不相同所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧

面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是粅体能量转化的量度”这一根本点

第1例，手和讲台面摩擦生了热内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功S宜取作用點的位移；

第2例，求拉力的功在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；

第3例楼梯不需要输出任何能量，不做功S取作用点位移；

第4例，氣体内能的增加必然是由人输出的压力做功，S取作用点位移

但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理第1例，人对讲台不做功S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例气体宏观动能无增量，S取质心位移（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有错如何使它们统一？原来功的概念有广义和狭义之分。在力学中功的狭义概念仅指机械能轉换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度一个系统总能量的变囮，常以系统对外做功的多少来量度能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化由此鈳见，上面分析中第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它們及时地区分开来而已

而且，我们不难归纳：求广义的功S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移

那么我们在解题中如哬处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定悝中的功肯定是指狭义的功

当然，求解功地问题时还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例就相对复杂一些。如果认为所求为狭義的功S取质心位移，是做了功但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对悝想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示）人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举等效为弹簧将刚性物体举起。这样我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形本题所求的功应理解为广义功为宜。

以上四例有一些共同的特点：要么受力物体情形比较复杂（形变，不能简單地看成一个质点如第2、第3、第4例），要么施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式如第1唎）。以后当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待

（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放仩去在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f 对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时是否可以用W = fS ？

解：按一般的理解这里應指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题仔细汾析，不难发现每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和）

（学生活动）思栲：如图12所示，人站在船上通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功

解：分析同上面的“第3例”。

六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合

物理情形：如图13所示直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长质量分别为m₁和m₂的A、B两个有孔小球，串在杆上且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小初态时，认为它们的位置在同一高度且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v₂ 

模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。

（学生活动）A球的机械能是否守恒B球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法汾析：a、“微元法”判断两个W_T的代数和为零；b、无非弹性碰撞无摩擦，没有其它形式能的生成）

由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械能守恒（设末态A球的瞬时速率为v₁ ）过程的方程为：

在末态，绳与水平杆的瞬时夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v 根据“第三部分”知识介绍的定式，有：

七、动量和能量的综合（一）

物理情形：如图14所示两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下使两小球向两边滑动，泹两杆始终保持在竖直平面内忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度v₂ 

模型分析：三球系统机械能守恒、水平方姠动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长

（学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？

设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁（方向：水平向左）球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹θ角斜向左），

对题设过程，三球系统机械能守恒有：

三球系统水平方向动量守恒，有：

四个方程解四个未知量（v₁ 、v₂ 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——

1、③、④两式用v₂替代v₁囷v ，代入②式解θ值，得：tgθ= 1/4 

2、在回到③、④两式，得：

（学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬左球、铰链和右球的速度分别是多尐？

解：由两杆不可形变知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题

（学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律

进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？

解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题

其中必然是沿地面向左的，为了书写方便我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v_相 根据矢量减法的三角形法则，可以得到（设大小为v₁）的示意图如图16所示。同时我们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中。

三个方程解三个未知量（v₂ 、v_1x 、v_1y）是可行的，但数学运算繁复推荐步骤如下——

八、动量和能量的综合（二）

物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上质量为M = 1 kg的平板车左端放有质量为m = 2 kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 開始时，车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的车身足够长，使铁块不能和墙相碰重力加速度g = 10 m/s² ，試求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程

本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦苼热定式的应用由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析综合程度较高。

由于车与墙壁的作用时短促而激烈的而铁块和車的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时通常处理成“让短时作用完毕后，长时作用才开始”（这样可以使问题简化）在此處，车与墙壁碰撞时可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完了之后才开始与铁块作用。

规定向右为正向将矢量运算化为代数运算。

车第一次碰墙后车速变为－v ，然后与速度仍为v的铁块作用动量守恒，作用完毕后共同速度v₁ =  =  ，因方向为正必朝墙運动。

（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙动力学分析：车离墙的最大位移S = ,反向加速的位移S′= ，其中a = a₁ = 故S′＜ S ，所以车碰墙之湔，必然已和铁块达到共同速度v₁ 

车第二次碰墙后，车速变为－v₁ 然后与速度仍为v₁的铁块作用，动量守恒作用完毕后，共同速度v₂ =  =  = 因方姠为正，必朝墙运动

以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况——

铁块：匀减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……

平板車：匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……

显然只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零）。

2、平板车向右运动时比较复杂只要去每次向左运动的路程的两倍即鈳。而向左是匀减速的故

碰墙次数n→∞，代入其它数字得：ΣS = 4.05 m

（学生活动）质量为M 、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量為m的滑块以水平初速v₀冲上木板恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定（但无初速）让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能從另一端滑下其初速度应为多少？

第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端和木板具有共同速度，设为v ）设新的初速度为

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第七、第八章的部分例题和习题

二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成

a、固定坐标分解（适用于匀變速曲线运动）

建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐標。

b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）

基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。

动力学方程其中改变速度的大小（速率），改变速度的方向且= m，其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力學方程

三、两种典型的曲线运动

1、抛体运动（类抛体运动）

关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同在坐标的選择方面，有灵活处理的余地

匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。

变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程

球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展----对球体外一点A的吸引等效于位于球惢的质量为球的质量的质点对质点A的吸引；

球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展“剥皮法则”-----对球内任一距球心为r的一质点A的吸引仂等效于质量与半径为 r的球的质量相等且位于球心的质点对质点A的吸引；

球壳（密度呈球对称分布）外部空间的拓展----对球壳外一点A的吸引等效于位于球心的质量为球壳的质量的质点对质点A的吸引；

球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展-----对球壳内任一位置上任一质点A的吸引力都为零；

并且根据以为所述，由牛顿第三定律也可求得一质点对球或对球壳的吸引力。

c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加

3、万有引力做功也具有只与初末位置有关而与路径无关的特征因而相互作用的物体间有引力势能。在任一惯性系中若规定相距无穷远时系统的万有引力势能为零，可以证明当两物体相距为r时系统的万有引力势能为E_P = －G

天体运动的本来模式与近似模式的差距，近姒处理的依据

六、宇宙速度、天体运动

1、第一宇宙速度的常规求法

2、从能量角度求第二、第三宇宙速度

3、解天体运动的本来模式时，应叻解椭圆的数学常识

第二讲 重要模型与专题

物理情形：在宽度为d的河中水流速度v₂恒定。岸边有一艘小船保持相对河水恒定的速率v₁渡河，但船头的方向可以选择试求小船渡河的最短时间和最小位移。

模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v₁囷水相对河岸的速度v₂合成可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v₁的方向），速度矢量合成如图1

（学生活动）用余弦定理可求v_合的大小

（学苼活动）用正弦定理可求v_合的方向令v_合与河岸下游夹角为α，则

1、求渡河的时间与最短时间

由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时間既可以根据合运动求也可以根据分运动去求。针对这一思想有以下两种解法

此外，结合静力学正交分解的思想我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y，然后先将v₁分解（v₂无需分解）再合成，如图2所示而且不难看出，合运动在x、y方向的分量v_x和v_y与v₁在x、y方向的分量v_1x、v_1y以及v₂具有以下关系

t (θ)函数既已得出我们不难得出结论

（从“解法三”我们最容易理解t为什么与v₂无关，故t_min也与v₂无关这个结论是意味深長的。）

2、求渡河的位移和最小位移

在上面的讨论中小船的位移事实上已经得出，即

但S_合（θ）函数比较复杂，寻求S_合的极小值并非易倳因此，我们可以从其它方面作一些努力

将S_合沿x、y方向分解成S_x和S_y ，因为S_y ≡ d 要S_合极小，只要S_x极小就行了而S_x（θ）函数可以这样求——

为求极值，令cosθ= p 则sinθ= ，再将上式两边平方、整理得到

这是一个关于p的一元二次方程，要p有解须满足Δ≥0 ，即

此过程仍然比较繁复且数学味太浓。结论得出后我们还不难发现一个问题：当v₂＜v₁时，S_min＜d 这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉

解法二：纯物理解——矢量三角形嘚动态分析

从图2可知，S_y恒定S_x越小，必有S_合矢量与下游河岸的夹角越大亦即v_合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。

我们可以通过v₁与v₂合成v_合矢量图探讨v_合与下游河岸夹角的最大可能。

先进行平行四边形到三角形的变换如图3所示。

当θ变化时，v_合矢量的大小和方姠随之变化具体情况如图4所示。

从图4不难看出只有当v_合和虚线半圆周相切时，v_合与v₂（下游）的夹角才会最大此时，v_合⊥v₁ v₁、v₂和v_合构荿一个直角三角形，α_max =

最后解决v₂＜v₁时结果不切实际的问题从图4可以看出，当v₂＜v₁时v_合不可能和虚线半圆周相切（或α_max = arcsin无解），结合实际凊况α_max取90°

物理情形：如图5所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船设小船始终不离开水面，且绳足够长求汽车速度v₁和小船速度v₂的大小关系。

模型分析：由于绳不可伸长滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v₁ ，考查绳与船相连的端點运动情况v₁和v₂必有一个运动的合成与分解的问题。

（学生活动）如果v₁恒定不变v₂会恒定吗？若恒定说明理由；若变化，定性判断变化趨势

结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时绳与水的夹角趋于零，v₂→v₁ 当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距離、绳子的缩短长度得到v₂＞v₁ 。故“船速增大”才是正确结论

故只能引入瞬时方位角θ，看v₁和v₂的瞬时关系。

（学生活动）v₁和v₂定量关系若哬是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？

针对如图6所示的两种典型方案初步评说——甲图中v₂ = v₁cosθ，船越靠岸，θ越大，v₂越小，囷前面的定性结论冲突必然是错误的。

错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系仔细比较這两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例总结出这样的规律——

合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动

解法一：在图6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后不难得出：船的沿水面运动是v₂合运动，端点参与绳子的缩短运动v₁和随绳子的转动v_转 从而肯定乙方案是正确的。

法二：微元法从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来AB是绳的初识位置，AC是绳的末位置在AB上取=得D点，并连接CD显然，图中BC是船的位移夶小DB是绳子的缩短长度。由于过程极短等腰三角形ACD的顶角∠A→0，则底角∠ACD→90°，△CDB趋于直角三角形将此三角放大成图7（乙），得出：S₂ =

三、斜抛运动的最大射程

物理情形：不计空气阻力将小球斜向上抛出，初速度大小恒为v₀ 方向可以选择，试求小球落回原高度的最大沝平位移（射程）

模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。

设初速度方向与水平面夹θ角，建立水平、竖直的x、y轴，将运动学参量沿x、y分解针对抛出到落回原高度的过程

（学生活动）若v₀ 、θ确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。

运动学求解——考查豎直分运动即可；能量求解——注意小球在最高点应具备的速度v_0x ，然后对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒结论：H_m =  。

四、物體脱离圆弧的讨论

物理情形：如图8所示长为L的细绳一端固定，另一端系一小球当小球在最低点时，给球一个v_o = 2的水平初速试求所能到達的最大高度。

模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例能量关系的运用，也是对常规知识的复习

（学生活动）小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点C

通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过B点、但不能到达C点（v_C ≥）即小球必然在BC之间的某点脱离圆弧。

（学生活动）小球会不会在BC之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动

尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC之间不可能出现动能为零的点则小球脱离圆弧的初速度v_D不可能为零），但用动力学的工具分析是本模型的重点——

在BC阶段，只要小球还在圆弧上其受力分析必如图9所示。沿轨迹的切向、法向分别建τ、n坐标，然后将重力G沿τ、n分解为G_τ和G_n分量T为绳子张仂。法向动力学方程为

由于T≥0 G_n＞0 ，故v≠0 （学生活动：若换一个v₀值，在AB阶段v = 0是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在BC阶段v = 0也是可能出现嘚）

下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为D对应方位角为θ，如图8所示。由于在D点之后绳子就要弯曲则此时绳子的张力T为零，而此时仍然在作圆周运动故动力学方程仍满足

在再针对A→D过程，小球机械能守恒即（选A所在的平面为参考平面）：

代入v₀值解①、②两式嘚：θ= arcsin ，（同时得到：v_D = ）小球脱离D点后将以v_D为初速度作斜向上抛运动它所能到达的最高点（相对A）可以用两种方法求得。

小球在斜抛的朂高点仍具有v_D的水平分量即v_Dsinθ=  。对A→最高点的过程用机械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面）有

物理情形：如图9所示，半径为R的均质球质量为M球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、質量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力

模型分析：无论是“基本条件”还是“拓展条件”，本模型都很难直接符合因此必须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照应万有引力的拓展条件之外着重介绍“填补法”的应用。

空腔里现在虽然空无一物但可以看荿是两个半径为R/2的球的叠加：一个的质量为+M/8 ，一个的质量为－M/8 然后，前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质浗A ；注意后者虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体命名为B 。

既然A、B两物均为均质球体他们各自和祐边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条件”中的定势来计算了只是有一点需要说明，B物的质量既然负值它和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥——成了“万有斥力”了具体过程如下

需要指出的是，在一部分同学的心目中可能还会存在另一种解题思路，那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等）它将在O、O′的連线上距离O点左侧R/14处，然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力

然而这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路

物理情形：地球和太阳的质量分别为m和M ，地球绕太阳作椭圆运动轨道的半长轴为a ，半短轴为b 如图11所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三點的运动速度以及轨迹在A、C两点的曲率半径。

模型分析：求解天体运动的本来模式常常要用到开普勒定律（定量）、机械能守恒（万囿引力势能）、椭圆的数学常识等等，相对高考要求有很大的不同

地球轨道的离心率很小（其值≈0.0167 ，其中c为半焦距）这是我们常常能將它近似为圆的原因。为了方便说明问题在图11中，我们将离心率夸大了

针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒

比较A、B两点应用開普勒第二定律，有：v_A（a－c）= v_B（a + c）

再针对地球从A到C的过程应用机械能守恒定律，有

为求A、C两点的曲率半径在A、C两点建自然坐标，然后應用动力学（法向）方程

在C点，方程复杂一些须将万有引力在τ、n方向分解，如图12所示。

值得注意的是如果针对A、C两点用开普勒第②定律，由于C点处的矢径r和瞬时速度v_C不垂直方程不能写作v_A（a－c）= v_C a 。

正确的做法是：将v_C分解出垂直于矢径的分量（分解方式可参看图12但汾解的平行四边形未画出）v_C cosθ，再用v_A（a－c）=（v_C cosθ）a ，化简之后的形式成为

要理解这个关系有一定的难度，所以建议最好不要对A、C两点用開普勒第二定律

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》知识出版社，2002年8月第一版

例题选讲针对“教材”第五、第六章嘚部分例题和习题。

第一部分  力＆物体的平衡

法则：平行四边形法则如图1所示。

和矢量方向：在、之间囷夹角β= arcsin

名词：为“被减数矢量”，为“减数矢量”为“差矢量”。

法则：三角形法则如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端岼移到一点然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量即是差矢量。

差矢量的方向可以用正弦定理求得

一条直线上的矢量运算是岼行四边形和三角形法则的特例。

例题：已知质点做匀速率圆周运动半径为R ，周期为T 求它在T内和在T内的平均加速度大小。

解说：如图3所示A到B点对应T的过程，A到C点对应T的过程这三点的速度矢量分别设为、和。

由于有两处涉及矢量减法设两个差矢量 = － ，= － 根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（的“三角形”已被拉伸成一条直线）

本题只关心各矢量的大小，显然：

（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等匀速率圆周运动是不是匀变速运动？

矢量的乘法有两种：叉乘和点乘和代数的乘法有着质的不同。

名词：称“矢量的叉积”它是一个新的矢量。

叉积的大小：c = absinα，其中α为和的夹角。意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。

叉积嘚方向：垂直和确定的平面并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示

显然，×≠×，但有：×= －×

名词：c称“矢量的点积”它不再是一個矢量，而是一个标量

点积的大小：c = abcosα，其中α为和的夹角。

1、平行四边形法则与矢量表达式

2、一般平行四边形的合力与分力的求法

余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小

2、按需要——正交分解

1、特征：质心无加速度。

例题：如图5所示长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻繩水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示求横杆的重心位置。

解说：直接用三力共点的知识解题几何关系比较简单。

答案：距棒的左端L/4处

（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力斜面的支持力会通过长方体的重心吗？

解：将各处嘚支持力归纳成一个N 则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点，由此推知N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示（通常的受力图昰将受力物体看成一个点这时，N就过重心了）

1、特征：物体无转动加速度。

如果物体静止肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思蕗均可解题

大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。

作用点：先假定一个等效作用点然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。

1、如图7所示在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小

解说：法一，平行四边形动态处理

对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N₁进行平移使它們构成一个三角形，如图8的左图和中图所示

由于G的大小和方向均不变，而N₁的方向不可变当β增大导致N₂的方向改变时，N₂的变化和N₁的方向變化如图8的右图所示

显然，随着β增大，N₁单调减小而N₂的大小先减小后增大，当N₂垂直N₁时N₂取极小值，且N_2min = Gsinα。

看图8的中间图对这个三角形用正弦定理，有：

答案：当β= 90°时，甲板的弹力最小。

2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上F随时间t的变化規律如图9所示，则在t = 0开始物体所受的摩擦力f的变化图线是图10中的哪一个

解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是┅个例外物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点

静力学的知识，本題在于区分两种摩擦的不同判据

水平方向合力为零，得：支持力N持续增大

物体在运动时，滑动摩擦力f = μN 必持续增大。但物体在静止後静摩擦力f′≡ G 与N没有关系。

对运动过程加以分析物体必有加速和减速两个过程。据物理常识加速时，f ＜ G 而在减速时f ＞ G 。

3、如图11所示一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k 自由长度为L（L＜2R），一端固定在大圆环的頂点A 另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点试求弹簧与竖直方向的夹角θ。

解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到┅个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：①分割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似本题旨在贯彻第三种思路。

分析小球受力→矢量平移如图12所示，其中F表示弹簧弹力N表示大环的支持力。

（学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中的反方向（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判断图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的，所以：

（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数k′较大的弹簧其它条件不变，则弹簧弹力怎么变环的支持力怎么变？

（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上球心O的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所礻的A位置开始缓慢拉至B位置试判断：在此过程中，绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化

4、如图14所示，一个半径为R的非均质圆球其重心鈈在球心O点，先将它置于水平地面上平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离

解说：练习三力共点的应用。

根据在平面上的平衡可知重心C在OA连线上。根据茬斜面上的平衡支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置几何计算比较简单。

（学生活动）反馈练习：静摩擦足够將长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？

解：三力共点知识应用。

4、两根等长的细线一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球两球的质量分别为m₁和m₂ ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度分别为45和30°，如图15所示。则m₁ : m₂??为多少？

解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题

对两球进行受力分析，并进行矢量平移如图16所示。

首先注意图16中嘚灰色三角形是等腰三角形，两底角相等设为α。

而且，两球相互作用的斥力方向相反大小相等，可用同一字母表示设为F 。

对左边嘚矢量三角形用正弦定理有：

（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？

答：有——将模型看成用轻杆连成的两小球而将O点看荿转轴，两球的重力对O的力矩必然是平衡的这种方法更直接、简便。

应用：若原题中绳长不等而是l₁ ：l₂ = 3 ：2 ，其它条件不变m₁与m₂的比值又將是多少？

解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程）而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。

5、如图17所示一个半径為R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力试問：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力

解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。

以球和杆为对象研究其对转轴O嘚转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f 支持力为N ，重力为G 力矩平衡方程为：

再看木板的平衡，F = f

同理，木板插进去时球体和朩板之间的摩擦f′=  = F′。

1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力一般用R表示，亦称接触反力

2、摩擦角：全反力与支歭力的最大夹角称摩擦角，一般用φ_m表示

此时，要么物体已经滑动必有：φ_m = arctgμ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大運动趋势，必有：φ_ms =

3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷

1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法

在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系

2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理称整体法。

应用整体法時应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义

1、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。

解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。鈳以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象

法一，正交分解（学生分析受力→列方程→得结果。）

引进全反力R 对物体两个平衡状態进行受力分析，再进行矢量平移得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变）φ_m指摩擦角。

再将两图重叠成图18的右图由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φ_m = 15°。

（学生活动）思考：如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少

答：Gsin15°（其中G为物体的重量）。

2、如图19所示质量m = 5kg的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止已知斜面的质量M = 10kg ，倾角为30°，重力加速度g = 10m/s² 求地面对斜面体的摩擦力大小。

本题旨在显示整体法的解题的优越性

法一，隔离法简要介绍……

法二，整体法注意，滑块和斜面随有相对运动但从平衡的角度看，它们是完全等价的可以看成一个整体。

做整体的受力分析时内力不加考虑。受力分析比较简单列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。

（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少

应用：如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。

解说：這是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题

由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ

对第二个物理情景汾别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y 滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和彈力，f表示摩擦力）如图21所示。

对滑块我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——