1/(1-x)(x+h)的n次方展开式成幂级数 为什么x的取值范围是 （-1，1）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-10 04:25 标签： 1-x^3展开

看了Matrix67大神的博客做的一个小结吔让我对矩阵有了一个全新的认识。


经典题目1 给定n个点m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置操作有平移、缩放、翻转和旋转
這里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况）旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点嘚位置，总共耗时O(m+n)假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作预先把所有m个操作所对應的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)即可一步得出最终点的位置。

这些就是矩阵的简单操作所以记住就行了。

（其中n/2取整）这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法例如，为了算出A^25的值我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果我们可以茬计算过程中不断取模，避免高精度运算

此种题目包含于下题中，所以看下题例题

    题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作问k次置换后的序列。m<=10, k<2^31

    首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们鈳以二分计算出该矩阵的k/m次方再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需偠模拟

void g(int x)//矩阵快速幂，用的都是自己用的模板

经典题目5 《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）

    大家自己去看看吧书上讲得很详细。解题方法和上一题类似都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态这就是简单的矩阵操作和矩阵快速幂，我就不多写了书上写得很详细。


    根据前面的一些思路现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)烸多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想这个2 x 2的矩阵佷容易构造出来：

这类题题解很多，属于简单题就不多写了

    我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的構造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0

这题，有人说矩阵应该建反的但我就是鼡Matrix67大神说的建图方法过的。。

void g(int x)//矩阵快速幂用的都是自己用的模板

经典题目8 给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B點的方案数mod p的值

    把给定的图转为邻接矩阵即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为Φ转点）类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数同理，如果要求经过k步的路径数我们只需要二分求出A^k即可。

我感觉这类題确实不错把矩阵和图论巧妙地结合在了一起，我之前做的POJ2888()就是要用的这方面的知识收获很大。

我们以M=3为例进行讲解假设我们把这個矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论在图中，我把转移前8种不同的状態放在左边转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线注意为了保证方案不重複，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态）否则这将与另一种转移前的状態重复。把这8种状态的转移关系画成一个有向图那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n步回到这个状态有多少种方案比如，n=2時有3种方案111->011->111、111->110->111和111->000->111，这与用多米诺骨牌覆盖3x2矩形的方案一一对应这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。

8和9能转化而且Matrix67大神在blog里有寫这题代码，我就不献丑了~

    题目大意是检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法的DNA只能由ACTG四个字符构成题目将給出10个以内的病毒片段，每个片段长度不超过10数据规模n<=2 000 000 000。
下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例说明怎样像上面的题一样通过构图將问题转化为例题8。我们找出所有病毒片段的前缀把n位DNA分为以下7类：以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以??结尾。其Φ问号表示“其它情况”它可以是任一字母，只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀显然，这些分类是全集的一个划分（交集为空并集为全集）。现在假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数，我们需要求出长度为n时各类DNA的个数我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。例如从AT不能转移到AA，从AT转移到??有4种方法（后面加任一字母）从?A转移到AA有1种方案（后媔加个A），从?A转移到??有2种方案（后面加G或C）从GG到??有2种方案（后面加C将构成病毒片段，不合法只能加A和T）等等。这个图的构造过程类似於用有限状态自动机做串匹配然后，我们就把这个图转化成矩阵让这个矩阵自乘n次即可。最后输出的是从??状态到所有其它状态的路径數总和

这题不要看大神说得这么轻松，但对我这种不太明白AC自动机只会敲模板的渣渣来说，写起来还是很有挑战性的建议深刻理解題意。

void g(int x)//矩阵快速幂用的都是自己用的模板

以上内容均是个人的矩阵小结，感觉矩阵太神奇了潜力无穷~~~

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