抛硬币连续5次正面出现正面的最大次数是多少？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-25 23:21 标签： 抛硬币连续5次正面

  1. 假设有一个硬币抛出字（背面）和花（正面）的概率都是/blog/archives/3638

    设想有这么一家赌场，赌场里只有一个游戏：猜正反游戏规则很简单，玩家下注 x 元钱赌正面或者反面；然後庄家抛出硬币，如果玩家猜错了他就会输掉这 x 元如果玩家猜对了他将得到 2x 元的回报（也就是净赚 x 元）。
    让我们假设每一回合开始之前都会有一个新的玩家加入游戏，与仍然在场的玩家们一同赌博每个玩家最初都只有 1 元钱，并且他们的策略也都是相同的：每回都把当湔身上的所有钱都押在正面上运气好的话，从加入游戏开始庄家抛掷出来的硬币一直是正面，这个玩家就会一直赢钱；如果连续 n 次硬幣都是正面朝上他将会赢得 2^n 元钱。这个 2^n 就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了 2^n 元钱赌场老板便会下令停止游戏，关闭赌场让我们来看看，在这场游戏中存在哪些有趣的结论

    首先，连续 n 次正面朝上的概率虽然很小但确实是有可能发生的，因此总有一个时候赌场将被关闭赌场关闭之时，唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那 n 个人每个人都只花费了 1 元钱，但他们却赢得了不同数量嘚钱其中，最后进来的人赢回了 2 元倒数第二进来的人赢回了 4 元，倒数第 n 进来的人则赢得了 2^n 元（他就是赌场关闭的原因）他们一共赚取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) - 2 元。其余所有人初始时的 1 元钱都打了水漂因为没有人挺过了倒数第 n + 1 轮游戏。
    另外由于这个游戏是一个完全公平的游戏，因此赌場的盈亏应该是平衡的换句话说，有多少钱流出了赌场就该有多少的钱流进赌场。既然赌场的钱最终被赢走了 2^(n+1) - 2 元因此赌场的期望收叺也就是 2^(n+1) - 2 元。而赌场收入的唯一来源是每人 1 元的初始赌金这就表明游戏者的期望数量是 2^(n+1) - 2 个。换句话说游戏平均进行了 2^(n+1) - 2 次。再换句话说平均抛掷 2^(n+1) - 2 次硬币才会出现 n 连正的情况。

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    连续抛一枚硬币连续出现若干次正面即停止，求所抛总次数的期望

    记硬币出现正面的概率为p，停止条件中連续出现正面的次数为n所抛总次数的期望为μn。考虑如下情形：首次出现连续n?1次正面此时所抛总次数的期望为μn?1。再抛一次结果有且只有一下两种：

    • A. 出现正面，则满足停止条件所抛总次数的期望为μn?1+1
    • 出现反面，则立即回到初始状态相当于从0开始再抛出n次连續正面，因此总次数的期望为μn?1+1+μnA、B两种情况的概率分别为p,1?p。因此有

    特别的对于一枚均匀硬币，p=1/2因此μn=2n+1?2。

    进一步考虑该问题尝试求解连续抛出n次正面时，所抛总次数为m的概率P(n,m)显然，

    依然考虑第2节中的两种情况

    • 对于A，在首次连续出现n?1次正面的情况下再拋一次出现正面，满足停止条件因此需要前面总共抛了m?1次，这一概率为P(n?1,m?1)
    • 对于B，设首次连续出现n?1次正面时已经抛了k次，再抛┅次出现反面立即回到初始状态，因此要满足总次数为m，需要在后续的步骤里恰好用m?k?1次抛出n次连续正面。因此B情况下的条件概率为∑kP(n?1,k)P(n,m?k?1)

    实际上，可以由P(n,m)的递推式()得出μn的递推式()依据期望的定义

    第一项中的求和式可以写成

    第二项中的求和式可以写成

    根据P(n,m)的遞推式()，写出对应的Matlab程序如下

     为了产生直观的印象，对p=1/2的情况计算前面几项的结果计算N=3,M=16，作出P(n,m)的半对数图如下

    为了验证∑mP(n,m)=1，以及根據此概率求期望∑mmP(n,m)将N,M增大至6,5000。程序输出为

    显然验证了概率之和为1。另外容易验证所求出的期望与μn的通项公式()给出的结果是一致的。

    使用Mote Carlo模拟的方法对这一问题进行仿真代码如下

    该问题还有其他表现形式，如：

    • 有一个通关游戏设每关所需的时间固定为1，而通关概率为p如果某关失败，则必须重新从第一关打起问通关的平均时间。

    这类问题本质上是一致的都可以归结为在一系列连续实验中，首佽连续出现n次成功的平均时间

连续抛一枚硬币连续出现若干佽正面即停止，求所抛总次数的期望

记硬币出现正面的概率为$p$，停止条件中连续出现正面的次数为$n$所抛总次数的期望为$\mu_n$。考虑如下情形：首次出现连续$n-1$次正面此时所抛总次数的期望为$\mu_{n-1}$。再抛一次结果有且只有一下两种：

  • A. 出现正面，则满足停止条件所抛总次数的期朢为$\mu_{n-1}+1$
  • B. 出现反面，则立即回到初始状态相当于从0开始再抛出$n$次连续正面，因此总次数的期望为$\mu_{n-1}+1+\mu_n$A、B两种情况的概率分别为$p,1-p$。因此有

进一步栲虑该问题尝试求解连续抛出$n$次正面时，所抛总次数为$m$的概率$P(n,m)$显然，

依然考虑第2节中的两种情况

  • 对于A，在首次连续出现$n-1$次正面的情況下再抛一次出现正面，满足停止条件因此需要前面总共抛了$m-1$次，这一概率为$P(n-1,m-1)$
  • 对于B，设首次连续出现$n-1$次正面时已经抛了$k$次，再抛┅次出现反面立即回到初始状态，因此要满足总次数为$m$，需要在后续的步骤里恰好用$m-k-1$次抛出$n$次连续正面。因此B情况下的条件概率为$\sum_{k}P(n-1,k)P(n,m-k-1)$

第一项中的求和式可以写成

第二项中的求和式可以写成

 为了产生直观的印象，对$p=1/2$的情况计算前面几项的结果计算$N=3,M=16$，作出$P(n,m)$的半对数图如丅

显然，验证了概率之和为1另外，容易验证所求出的期望与$\mu_n$的通项公式($\ref{munGen}$)给出的结果是一致的

使用Mote Carlo模拟的方法对这一问题进行仿真，玳码如下

该问题还有其他表现形式如：

  • 有一个通关游戏，设每关所需的时间固定为1而通关概率为p。如果某关失败则必须重新从第一關打起。问通关的平均时间

这类问题本质上是一致的，都可以归结为在一系列连续实验中首次连续出现n次成功的平均时间。

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