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运气与概率(4)-马丁格尔，凯莉公式与资金管理
09:52:05&&来源:
　　有关于马丁格尔理论的相关文章我已经在(运气与概率(1) - 绝不输钱的马丁格尔套利策略), (运气与概率(2) - 续谈马丁格尔套利策略之与市场对赌), 以及(运气与概率(3) - 三谈马丁格尔套利策略之资金保护退场机制)这三篇文章里简单的介绍过了，不过这篇文章我还是想再与读者讨论相关数学及概率理论部分的「方法学」，也会讨论在「资金管理学」上有名的凯莉公式(Kelly Criterion)。首先，我们先回顾何谓马丁格尔(Martingale)策略。所谓的马丁格尔(Martingale)策略其实是一种「赌博策略(Betting strategy)」。这个方法其实早在十八世纪发源于法国，当时有一对夫妇男的叫做马丁(Martin)女的叫格尔(Gale)。每个月当马丁(Martin)赚多少钱时格尔 (Gale)就会把它花光并多花一些钱，这对夫妇发现如果这种情形一直下去，不久后他们将会破产。所以最后马丁格尔(Martingale)夫妇决定从此不管每个月当马丁 (Martin)赚多少钱，格尔(Gale)每个月至少要留下一块钱。由此而衍生出了马丁格尔(Martingale)策略。策略很简单，就是任何在一个压大或压小的赌盘里，一直不断的只压某一单边(如压大或压小)，每输钱一次，就把输钱的数目乘上两倍，一直到你的压盘赢一次，就可以将前面所亏损的金额全部赢回来并多赢第一次所压的金额。 以下是使用数学概率所计算马丁格尔策略。假设我们以 q 来代表亏损的概率 (以美式轮盘为例是20/38，所以亏损概率为52.6%)，以 B 来代表赌客口袋中能压大小的筹码总量，以n来代表总共能够亏损的次数。所以你总共亏损n次的概率是q^n。而当你把你手中的筹码都亏掉了，那表示你总共亏损的金额是:
　　而你不会亏损n次的机率是1 & qn。假设你不会真的那么倒楣亏损了n次数，而你所能够赢到B数量的钱，那么你每一回合能期待的利润为:
　　因为由上面的例子来说明，亏损的机率为52.6%，而上面公式中1 & (2q)^n = 1 - (2*52.6%)^n，而且n & 0 (n 代表总共能够亏损的次数，因此n&0)，所以你会的到一个负值。这就表示在任何一次赌注里面，你所能期待的「利润」为负值，也就是说其「亏损的概率」会大于「获利的概率」。 若以实例来说明，假设我们拿6300元来到澳门赌场玩美国轮盘，我们先从100元开始押红色 (18个红色与20个非红色，所以赢率为18/38，而输率为20/38)，然后以2的倍数(2)^n增加，也就是:100、200、400、800、......，直到赢钱为止，然后又从头开始(这样算一回合)。如果你输了五次，那你会亏损 100+200+400+800+1600 = 3100元，当你连续输到第六次，那你会亏光所有的钱(00)。所以，以这个例子来做说明，你会连续亏损6次的概率为:(20/38)^6=2.1256%，而第六次你可以赢回所有的亏损并多赢1块钱的概率是: 1-(20/38)^6=97.8744%。 为何这次举的例子是以美国轮盘而非是压大小，且我举的例子是连续六次亏损而非连续八次亏损，九次亏损或者是十次亏损呢? Martingale
　　当然这部分跟外汇交易有关。在我的旧文章(深入亚马逊丛林 - 外汇市场里的陷阱与骗局)有做过分析，外汇投资者在外汇市场若以概率来看，赢率绝对是低于50%(也就是亏损概率高于50%)，所以应该以美国轮盘的输率 52.6% 来当成外汇的例子会比压大小的输率50%来的正确一点。另外，为何举「连续六次亏损」为例子呢? 因为「连续六次亏损」是最被赌徒视为「不可能概率」的一个临界点，这个在心理学上称为「典型启发」(Representativeness Heuristic)。不过我们来看实际的情形。以美国轮盘为例，其输率为q=20/38=52.6%，而「连续六次亏损」其「输的概率」变成:q^6 = 2.1256%。这是当我们以「单独连续性」六次亏损所算出来的概率。然而，如果我们再深入算下去，你会得到一个很意外的结果。 当我们进场赌73次的时候，你会在某个点上「连续六次亏损」的概率竟然会变成 50.3% (算法为: (1-0..021256 = 0..978744 x (1-0. = 0.4.49683 = 50.3%)。也就是假设你口袋仅有6300元每次压100元，以「马丁格尔」策略来压「美国轮盘」，在你压「美国轮盘」73次当中有一次会超过「连续六次亏损」的概率是50.3%。但马丁格尔策略是只要超过「连续六次亏损」这种情形发生一次，你就破产。且当你压美国轮盘150次当中有一次会超过「连续六次亏损」的概率则是77.2%，而若你压美国轮盘250次当中有一次会超过「连续六次亏损」的概率则变成91.1%。请注意，马丁格尔策略是只要发生「一次」高于你所能承受的最大亏损，你就破产。所以你玩越久且连续性越多次，破产概率就越高。我们回过头来看一般的赌场。小的赌场可能一开始就限制你使用马丁格尔策略，但有些中大型赌场虽然允许你使用马丁格尔策略但却限制最多你只能压六次(因为「典型启发」)。赌场也不是笨蛋，他们都知道你所知道的所有技巧。由上面的数学你可以清楚知道，为何只要赌徒进了赌场坐下来长时间与赌场对赌，一般都是输光盘缠而回。而外汇市场或其他金融市场也可以被视为相类似情形，因为你是站在输的概率大于50%的一方，从数学概率理论来看，长期下来在市场成为输家的概率相当高。接下来我们来谈「凯莉公式」(Kelly Criterion)。这个公式的目的是希望以概率方式来算出最合理的投资金额来让自己可以在长远的投资下是个「投资赢家」。假设有一个压大小赌盘，赢了就赢回所压的钱，输了则输去所压的钱。凯莉公式(Kelly Criterion)提出一个公式建议投资者应该以多少比率的资金来进行投资或押大小的赌盘。公式如下。 以上公式之:&f*为压在赌注上的全部资金比率(例如若为10%，当你有100元时，就表示最多 只能拿100*10%=10元下注)。&b为赌盘上的净赔率 (一般是设赔率为一，就是b = 1)。& p为赌盘上赢的概率。 Martingale
　　&q为赌盘上输的概率。它也等于1 & p。 由上面的公式，我们假设有一个赔率是1比1(b=1)的赌盘，因为b=1，所以上面的公式就变成: 我们再假设如果该赌盘赢的概率是60%而输的概率是40%，也就是上面公式中的p=0.6 而 q=0.4，若我们想成为「长期的赢家」，我们每次下注的金额为资金总金额的:== == 0.6-0.4 =0.2 = 20% 也就是说，在上面这个赌盘条件下，只要你每次下注是低于你资产总金额的20%，你就可以成为「长期的赢家」。 不过使用「凯莉公式」有一个条件，就是当f* 是一个负值时，这个赌盘就变成不适用。f*如何会变负值? 当 b & q/p时，f* 就变成负值。也就是说在任何赔率(b)小于输率除以赢率的赌盘，f* 就变成负值。例如，以「美国轮盘」为例，其赔率是1比1，所以 b=1。但输率为q=20/38=52.6%，而赢率为p=18/38=48.4%，所以b(=1) & 52.6/48.4。就以上面公式套到「美国轮盘」来说，其结果如下所示。==== 18/38 - 20/38 = -1/19 以上f* 变成负值。因此若以「凯莉公式」的建议，那就是「不要玩美国轮盘」。因为在这种条件下的赌盘你是无论如何都不可能成为「长期的赢家」。 同时「凯莉公式」对连续赌注的每一笔赌注事实上是设为一个独立概率 (Independent)，而且「凯莉公式」仅对每一笔赌注的最小投资额做建议，它不是产生递增现象，而是平均分摊的方式，再依照概率下算出来的结果，以最佳的资金达到长期获利的效果。 所以假设我们要利用「马丁格尔」与「凯莉公式」在外汇上操作，我们应该如何设计一个合适的「资金管理」来让我们的程序可以达到「长期的赢家」? 我们来看「红财神外汇自动交易程序」在「资金管理」上的设计。我们依照前面「马丁格尔」策略论述里所谈到的「典型启发」(Representativeness Heuristic)为「连续六次亏损」。所以资金的设计就是以七次「连续亏损」为基准。同时在传统的「马丁格尔」策略是以2^n为乘积，但实际做法上2^n的递增操作方式在外汇市场是极为高风险，因此「红财神外汇自动交易程序」建议是以1.3~1.5之间为乘积。我们将统一以1.3为例子。所以，以下简单的数学运算当: Martingale
　　x = lot y = Multiplier (乘积)所以: Level 1 = xLevel 2 = xyLevel 3 = xy2Level 4 = xy3Level 5 = xy4Level 6 = xy5Level 7 = xy6 当你达到第七阶时，就是「连续亏损七次」后你所开的总Lot数为:x + xy + xy2 + xy3 + xy4 + xy5 + xy6由以上公式，当我们设置程序为:x = 0.01 loty = 1.3 (乘积)所以: Level 1 = 0.01Level 2 = 0.02Level 3 = 0.03Level 4 = 0.04Level 5 = 0.05Level 6 = 0.07Level 7 = 0.09 当你达到第七阶时，就是「连续亏损七次」后你所开的总Lot数为:0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.05 +0.07 + 0.09 = 0.31 Lot 所以，若我们是在一个允许1:100的杠杆下的外汇经纪商交易，若我们只使用10%的Margin，那安全的操作资金就需要3100美金。 若我们以「典型启发」(Representativeness Heuristic)之「连续六次亏损」为标准，达到第六阶时的总开仓数目 = 0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.05 +0.07 = 0.22 Lot，若我们只使用10%的Margin，所以我们建议使用「红财神外汇自动交易程序」的最低资金要求则为2500美金。因此在我们的程序设置上，常常将Break Even阶层设为第六层而开始对冲层则设为第七层就是这个原因。 Martingale
　　接下来就是讨论应该设多少资金为我们应该投入的资金才能成为「长期的赢家」? 我们来回头来看「凯莉公式」。我们知道马丁格尔策略在任何的金融市场赢率为75%(盘涨，盘跌，大涨或大跌)，而输率为25%(大涨或大跌)，因此我们下注的金额应该为资金总金额的:== ==0.75-0.25 =0.5 = 50% 所以我们就必须设每次回合的马丁格尔交易资金必须低于「凯莉公式」的资金建议。
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本文来源：责任编辑：kevin
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&&&&&&&&这居然是个真实故事，发生在16世纪的法国农村。一个不务正业的丈夫突然失踪，七年后重新出现，但似乎变了一个人，比以前勤劳肯干，耐心体贴。有人指责他是冒充的，但守活寡多年的妻子却发誓他是真的，村里也出现两派，有人怀疑他，有人信任他。法庭举行了一场戏剧性的审判，但真相到最后一刻才大白，而且真相未必有利于公道。
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