&p&　　曾经在知乎上看到过一句话是这么说的，写答案不是为了名，不是为了利，甚至不是为了答疑解惑，乐于助人，而纯粹是因为看不下去。&/p&&p&　　所以，我来写答案了，以下是我的答案。&/p&&p&&b&　　先说结论：巴西和阿根廷在现代的种族构成都是历史过程的产物&/b&——巴西在16-18世纪的殖民地时期是以种植园经济为基础的农业社会，通过奴隶贸易从非洲引入了大量黑人，随后又在年间的移民潮中吸引了大量欧洲移民；阿根廷在16-18世纪的殖民地时期则是一个地广人稀的边缘地带，但是同样在年的移民潮中吸收了大量欧洲移民。&b&巴西是殖民地时期种植园经济和独立后移民潮的双重产物，而阿根廷则基本完全是19-20世纪欧洲移民的后裔。&/b&&/p&&p&　　在比较巴西和阿根廷的时候，首先必须要注意到的一个基本历史事实是，&b&阿根廷是个非常年轻的国家，而巴西相对来说是个更古老的殖民地。&/b&在西班牙殖民时期内的大多数时间，阿根廷都是一个偏远而且不受重视的边缘殖民地，原因主要包括以下几点：&/p&&p&　　1.阿根廷没有殖民者重视的矿产。&/p&&p&　　2.阿根廷没有人口众多、社会高度组织化的原住民，这意味着当地的劳动力资源稀少而且难以控制。游牧的原住民同时也从反面意义上发挥作用，他们不断攻击殖民者建立的农庄，让殖民者难以定居，活动范围基本局限在布宜诺斯艾利斯及其周边。&/p&&p&　　3.在拉普拉塔总督辖区建立（1776年）前，阿根廷隶属于秘鲁总督辖区，但布宜诺斯艾利斯作为面向大西洋的港口，会影响利马对于南美洲贸易的垄断地位，与此同时葡萄牙人和英国人把拉普拉塔河地区视为一个薄弱环节，经常在此从事走私活动。出于保护自身利益的目的，总督辖区长期限制布宜诺斯艾利斯，禁止它从事贸易出口活动。&/p&&p&　　在1816年阿根廷独立时，全国的人口只有50万出头，而同一时期的墨西哥有超过600万的人口，巴西有400-500万的人口。&b&在比较的意义上可以说，阿根廷这个人烟稀少的殖民地，其历史是从独立后才开始的。&/b&&/p&&p&　　接下来我们对比两个数字，在1869年，阿根廷的人口大约为180万；在1947年，阿根廷的人口大约为1600万。80年内，阿根廷的人口增加了近10倍，怎么做到的？两个字，&b&移民。在年间的欧洲移民潮中，累计有400万欧洲人移民到了阿根廷。&/b&在这些移民当中，人数最多的是意大利人（超过2/5），其次是西班牙人。这些移民在布宜诺斯艾利斯艾利斯的数量完全超过了移民潮之前居民的数量，仅在1913年一年，就有13.5万移民抵达布宜诺斯艾利斯，超过殖民地时期近200年移民的总和。我们可以毫不犹豫地给出论断，&b&阿根廷是个19-20世纪形成的欧洲移民国家。&/b&&/p&&p&　　回过头来，我们来看巴西。巴西殖民地建立于1500年，这块殖民地在葡萄牙殖民帝国中的地位是逐步擢升的，随着葡萄牙的亚洲贸易地位被荷兰和英国夺取，以及1580年后蔗糖繁荣百年周期的开始，巴西的蔗糖种植园越来越受重视，而&b&种植园经济正是巴西殖民地社会的基础。&/b&&/p&&p&　　蔗糖种植是劳动密集产业，需要大量劳动力，但是巴西的印第安人也是相对稀少而且社会组织化低的，不足以供殖民者控制和使用，因此&b&葡萄牙人的做法就是，大量引进非洲黑奴。巴西长期都是奴隶制社会。&/b&&/p&&p&&b&　　在1822年取得独立时&/b&，在巴西的400-500万人口当中，白人占不到1/3，印第安人约有80万，其余的均是黑人和混血儿。在当时的巴西社会中，&b&奴隶至少占到人口的30%&/b&。&/p&&p&　　不过，巴西的人口结构很快受到了一次重大事件的影响，那就是前文说过的移民潮。&b&在年，累计有200万欧洲人移民到了巴西（主要是巴西南部）&/b&。这个数字在拉丁美洲仅次于阿根廷。&/p&&hr&&p&　　接下来顺带解答题主关于拉丁美洲国家人口构成的问题。拉丁美洲是个种族、文化、历史极其多元的地区，各个国家之间也因为不同历史传统的存在而千差万别，因而，&b&在思考拉美问题时，有两条大忌：&/b&&/p&&p&&b&　　1.拿美国模式嵌套拉丁美洲。&/b&&/p&&p&&b&　　2.把拉丁美洲视为一个铁板一块的，内部缺乏差异的模糊整体。&/b&&/p&&p&　　只要不犯这两条大忌，愿意读书，我们就能好好交流。&/p&&p&　　拉丁美洲各国的种族人口结构也是有一定规律的，因为种族人口结构都是历史的产物，而历史传统则是可以被按地区或经济特点归类的。&/p&&p&&b&答主把拉美的历史传统归四类如下：&/b&&/p&&p&　　1.&b&中部美洲（Mesoamerican）传统&/b&，这是一项基于印第安文明的传统。该传统以 墨西哥中南部-危地马拉 为中心。墨西哥和中美五国基本完全是由印第安人和梅斯蒂索人（印欧混血）组成的国家。此项传统越强烈，印第安人和梅斯蒂索人的影响就越大。&/p&&p&　　2.&b&安第斯（Andean）传统&/b&，这也是一项基于印第安文明的传统。该传统以 秘鲁山区-玻利维亚 为中心。秘鲁和玻利维亚具有高比例的印第安人居民（占近半人口），靠近该传统中心的地区，包括厄瓜多尔、哥伦比亚、委内瑞拉、智利中北部，都有着占到人口多数的梅斯蒂索人。此项传统越强烈，印第安人和梅斯蒂索人的影响就越大。&/p&&p&　　3.&b&加勒比（Caribbean）传统&/b&，这是一项基于种植园经济的传统。该传统以海地岛为中心。包含加勒比岛屿、巴西、美国东南部，并影响中美洲、哥伦比亚、委内瑞拉、厄瓜多尔、秘鲁的海岸地区。此项传统越强烈，非洲裔及穆拉托人（非欧混血）的影响就越大。&/p&&p&　　4.&b&南椎体（Southern Cone）传统&/b&。这是一项基于19-20世纪欧洲移民潮的传统。该传统以拉普拉塔河流域为中心，包括阿根廷和乌拉圭（两个晚近形成的欧洲移民国家）、巴西南部、智利。此项传统越强烈，19-20世纪欧洲白人移民的影响就越大。&/p&&p&　　归类完成之后，分析和记忆拉丁美洲国家的种族与历史关系时，就可以采用这套标准。例如巴西是加勒比传统+南椎体传统；哥伦比亚是较强的安第斯传统+一定的加勒比传统；哥斯达黎加是中部美洲传统+加勒比传统 等等。&/p&&p&　　不过，&b&有两个国家的状况具有一定的特殊性&/b&，需要特别记忆。其一是&b&古巴&/b&，该国传统上的经济基础是蔗糖种植园，因而具有较强的非洲裔影响，但是在19-20世纪同南椎体国家一样引入了大量欧洲移民（主要是西班牙人），因而欧洲裔影响要明显强于包括多米尼加在内的其它加勒比国家；其二是&b&巴拉圭&/b&，该国虽然地处拉普拉塔河流域，但是地处内陆，长期比较封闭，因而引入移民很少，另一方面，由于该国有瓜拉尼人传教区的特殊历史背景，其国民基本都是瓜拉尼-西班牙混血。可参见我的另一个回答 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&莱茵行宫伯爵：美洲原住民中，有哪些族裔和白人关系比较好，之后白人对他们还不错？（或者没有太为难他们）？&/a&&/p&
曾经在知乎上看到过一句话是这么说的，写答案不是为了名，不是为了利，甚至不是为了答疑解惑，乐于助人，而纯粹是因为看不下去。 所以，我来写答案了，以下是我的答案。 先说结论：巴西和阿根廷在现代的种族构成都是历史过程的产物——巴西在16-18世纪的殖…
&p&不是后悔没装上的，而是装上了这些你肯定不会后悔的。&/p&&p&1、前置过滤器。净化水质的，无差别推荐。&/p&&p&2、橱柜抽屉。隔层肯定没有抽屉好用。&/p&&p&3、石英石台面。最结实耐造性价比高的材质。不锈钢会有划痕，大理石、人造石和木头都不抗造。&/p&&p&4、吊柜下面的感应灯。人在厨房操作是背对顶灯的，身体和吊柜会打下一片阴影。&/p&&p&5、燃气热水器。比电热水器方便，水量足，温度稳。&/p&&p&6、小厨宝。离热水器比较远的用水处，一定加个小厨宝。&/p&&p&7、智能马桶盖。有两个卫生间的话，可以装一个在主卧，次卧不装，日常使用对比一下。&/p&&p&8、台下盆。好打扫，无卫生死角。注意台面要能提供足够支撑。&/p&&p&9、镜柜。在卫生间洗漱人手最方便够得到的地方就是镜子，后面不装常用物品简直浪费。&/p&&p&10、深色的美缝或瓷缝。比勾缝剂能多坚挺几年，尤其白色勾缝剂，太容易脏了，根本擦不出来。&/p&&p&11、断桥铝窗户。隔音隔热保温，北方推荐。&/p&&p&12、暖气。不论电暖还是水暖，不论暖气片还是地暖，看情况选择，但是都比大冬天吹空调热风舒服多了。&/p&&p&13、很多很多插座。不是盲目的多，是考虑好自己要用什么电器再增加插座。一般工人只会给你地面以上30cm留两个，沙发旁边随便留两个，床旁边随便留两个，很鸡肋。&/p&&p&14、衣柜里的感应灯。拉开柜门，灯亮，更衣。&/p&&p&15、遮光窗帘。卧室里的窗帘就别搞太多花哨了，素色遮光布正经好用。&/p&&p&16、换鞋凳。坐着穿鞋脱鞋会舒服很多。设计玄关时很容易忘记给它留位置。&/p&&p&17、千兆网。至少要比邻居家网速快。&/p&&p&18、好的防盗门+好的锁芯。甲级门，C级锁，至少要比邻居家看着难撬。&/p&&p&&br&&/p&&p&知乎上不定期分享家居装修相关，也建了个纯装修交流群，可以加微信zhuangxiaomi666进群，随时聊聊你家的装修疑问（会有专家帮回答），为避免商家进入，加的时候请注明“知乎”。&/p&
不是后悔没装上的，而是装上了这些你肯定不会后悔的。1、前置过滤器。净化水质的，无差别推荐。2、橱柜抽屉。隔层肯定没有抽屉好用。3、石英石台面。最结实耐造性价比高的材质。不锈钢会有划痕，大理石、人造石和木头都不抗造。4、吊柜下面的感应灯。人在厨…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ce59ceb6cdc382cfbedd4a16cbf4cb16_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ce59ceb6cdc382cfbedd4a16cbf4cb16_r.jpg&&&/figure&&p&　　常规的围棋盘纵横十九道，变化无穷。十九路以下的小棋盘，常见的有九路、十三路等。小棋盘常用于新手入门的教学，常为资深棋迷忽视。然而，小棋盘上也有奇异的妙趣，以及超乎想象的繁多变化。本系列邀请各位读者走进小棋盘的世界。&/p&&p&　　日前，某围棋教育机构被曝“长期使用二路棋盘”教育小朋友入门，遭业内人士一致口诛笔伐。二路棋盘如下图，一共只有４个交叉点。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3a85f0807_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3a85f0807_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&读者即使不太了解围棋，大概也会觉得“这实在是太简单了”。用二路棋盘教棋固然是不负责任的圈钱行为，怎么批判都不为过。但是，二路棋盘像看上去的那么简单么？请问，二路棋盘，无贴目，在现行中国规则下，双方最优解对应什么结果？&/p&&p&好像没有什么稀奇的，黑走一步，白走对角，就双活了嘛。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-55b4afdedd52c08bdf82a7c0ef381eda_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ce59ceb6cdc382cfbedd4a16cbf4cb16_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ce59ceb6cdc382cfbedd4a16cbf4cb16_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&所以结果是和棋咯？“等等，要是黑棋继续走……”&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2f70fd7ffadd3f159cd60f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&240& class=&content_image& width=&240&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c5a89eceed2e916ae21a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5deb8f24ca8c1a9b15a7fec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-eab860a94326fcc3ad0b0f85_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fcb4ca47e0b82f1ff7f5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&黑棋固然先送死了两兄弟，但棋局神奇地可以继续下去。五步棋以后，似乎又回到了最初的起点，只是棋盘旋转了90°而已。如此看来，棋局可以无限循环下去。如果是日本规则，棋局确实可以无限循环下去。不过，黑棋走了半天，送死三个兄弟，又吃回三个敌人，在日本规则下做了无用功。因此日本规则下的最优解就是在两步棋以后不动了，和棋。&/p&&p&但是，中国规则有禁循环（也称禁全同）一条，使得结果变得完全不同。所谓禁循环，就是不允许走出重复的局面&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/write#footnote-1& class=&internal&&[1]&/a&。2乘2棋盘上的局面数是有限的，因此棋局不能无限进行下去。研究涉及禁循环的问题，最严谨的办法是把所有局面列举出来。二路棋盘有4个交叉点，每个交叉点可能有{空、黑、白}三种状态，因此共有3x3x3x3=81种局面。但没有气的局面是非法的，共24种，列举如下：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8c2fde7b0ca7ffe_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1060& data-rawheight=&374& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1060& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8c2fde7b0ca7ffe_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&合法的局面尚有57种，可以用下图概括。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-50d4e12fed78ed058013_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1162& data-rawheight=&1042& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1162& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-50d4e12fed78ed058013_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&上图中，旋转或镜面对称的局面被分为一组，且用箭头指示各局面间“一步到达”的关系。注意，旋转或镜面对称的局面并不等同，因为禁循环规则下走到对称的局面并不犯规。&/p&&p&图中表示游戏树的方法，在图论中被称为&b&有向图&/b&（Directed Graph）；每个局面是一个&b&顶点&/b&（node），连接顶点的箭头称为&b&边&/b&（edge）。一局棋从空枰出发，走了若干步以后终止；这对应上图中从空枰顶点出发的一条&b&道路&/b&（path）。禁循环规则等价于&b&棋局对应的道路不能重复经过某个节点&/b&。这样的路径又称&b&简单道路。&/b&&/p&&p&问题来了，这张图上共有多少条简单道路呢？换句话说，在中国规则下，二路棋盘共有多少种可能的棋局呢？答案是惊人的种，也就是三千八百六十三亿种。荷兰科学家、围棋爱好者John Tromp借助程序穷举计数，解答了这一问题。&/p&&p&有读者可能会反驳，这三千多亿种棋局中，绝大多数都是无用的、真实的棋手不可能会这么走的。确实如此吗？我们回到本文开头的问题：二路棋盘中国规则下的最优结果。答案不是和棋，而是黑胜一子！惊喜不惊喜？意外不意外？&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dd43ba683bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dd43ba683bd_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&结果如图：黑二子，白一子，黑胜一子。事实上，如果是上帝的左右手互搏，棋局只需要进行这三手就可以宣告结束。如果白棋继续抵抗，则黑棋至少可以保全胜利果实。下图是一种可能的进程：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c5a89eceed2e916ae21a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5deb8f24ca8c1a9b15a7fec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-eab860a94326fcc3ad0b0f85_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fcb4ca47e0b82f1ff7f5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5b0f0f7d0b0dadb894a3a6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cf4a9d7dcc2f165a9ad53d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cb8e232e50ce283abbaab98e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1eabaa6ea120231abdad1cfd69aba9c4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&p&至此白棋不能继续，否则重复了第三图。白棋被迫停招，黑棋继续如下：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-acdacfcb8a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d74babcb7db0c1d8fe9e9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&238& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&238&&&/figure&&p&至此黑棋可以选择停招，而白棋也不能继续，否则重复上面倒数第二图。两弃终局，黑棋仍以一子胜。&/p&&p&篇幅所限，笔者只能举出万千变化中的一种。黑白双方仍有不计其数的其它选择，以人力难以穷尽。另一位荷兰围棋爱好者、软件工程师Erik van der Werf 借助自编程序MIGOS暴力搜索&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/write#footnote-2& class=&internal&&[2]&/a&，确认了黑胜一子的结果。&/p&&p&二路棋盘上还有一个未解问题：在禁循环规则下，最长的一局棋长度是多少? John对此做了一些实验，曾经找到过长达40手的棋局，但不能确认其是否为最长。可以证明的是，不存在长度57手，也就是遍历所有合法局面的一局棋。对于有向图，遍历所有顶点的道路又称&b&哈密顿道路（Hamiltonian Path）&/b&。利用程序寻找哈密顿道路的计算成本较高。不过，我们可以用纯逻辑推理解决本题。对于二路棋盘的游戏树，如果存在哈密顿道路，则这条道路串联57个节点，恰好有56条边。&/p&&p&再次观察二路棋盘的完整游戏树。注意第一行第二类局面&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-87a6499daf38b2ddf5171_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&201& data-rawheight=&106& class=&content_image& width=&201&&&/figure&&p&和第三行第一类局面&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-172efc0dbc1d7ed6689493b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&401& data-rawheight=&206& class=&content_image& width=&401&&&/figure&&p&，它们合起来只能走向&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-60fe74a2657_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&205& data-rawheight=&208& class=&content_image& width=&205&&&/figure&&p&和&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ca0a0efce53bc701b3b5cd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&203& data-rawheight=&206& class=&content_image& width=&203&&&/figure&&p&两类局面，共八个。前面的十个局面合起来本应至少指向九个其它局面，否则不能构成哈密顿道路的一部分，实际上它们至多只指向八个。因此，该图中不存在哈密顿道路，即不存在遍历所有局面的一盘棋。&/p&&p&至于最长的二路棋局究竟有多长，就交给有兴趣的读者去尝试了。&/p&&p&&br&&/p&&p&（本系列剩余部分计划涵盖３＼４＼５＼６＼７路棋盘、不规则小棋盘、9路棋盘以及13路棋盘，但暂时不会公开发布，须等待本系列与本专栏其它部分文章集结出版后再发布。）&/p&&p&参考文献：&u&J. Tromp & G. Farnerback, Combinatorics of Go&/u&&/p&&ol&&li&此处采用最严格的PSK表述。禁循环另有较宽松的SSK规则，即禁止使对方重复面对其曾经面对的局面。中国规则禁循环一条的表述较含糊，有PSK和SSK两种解释。 &/li&&li&穷举小棋盘围棋是Erik van der Werf博士论文的一部分。 &/li&&/ol&
常规的围棋盘纵横十九道，变化无穷。十九路以下的小棋盘，常见的有九路、十三路等。小棋盘常用于新手入门的教学，常为资深棋迷忽视。然而，小棋盘上也有奇异的妙趣，以及超乎想象的繁多变化。本系列邀请各位读者走进小棋盘的世界。 日前，某围棋教育机构被…
&p&能自己把信封博弈琢磨出来，只能说题主绝对是天才。这是博弈论里核心概念之一，叫共同知识。上学期做本科博弈论助教时恰好就这个知识点为课程写过补充讲义，就借来答题了。略长，而且大多是口语表述，不严格，证明也基本全部省略。如果有进一步需求可以到脚注和参考文献里找。其中许多材料来自
&a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/f937a9ddf4cadb70ca671d54& data-hash=&f937a9ddf4cadb70ca671d54& data-hovercard=&p$b$f937a9ddf4cadb70ca671d54&&@长泽雅美&/a& 和&a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/7b0bce1f1be03d8e23a99a4& data-hash=&7b0bce1f1be03d8e23a99a4& data-hovercard=&p$b$7b0bce1f1be03d8e23a99a4&&@阿虎&/a&，他们在EGT方面有专业知识，表示感谢！ 似乎CS领域关心这一问题知友很多，特地推荐Halpern和Moses文章&i&Knowledge and Common Knowledge in a Distributed Environment&/i&，有很不错的介绍。如果是经济学方面知友，推荐Maschler，Solan和Zamir教材&i&Game Theory&/i&第九章，也很不错。进阶和休闲读物请参见正文最后一段。最后，再次表达对题主的崇拜，很厉害！&/p&&br&&p&大家可能记得一道智力题：一座小岛上有很多户人家，每一家养了一条狗，其中有些狗是疯狗。每一家人都能看到别人家狗的状况，但不知道自己家狗的状况，也不会与其它人家交流。假设如果有一户人家知道自己家养的是疯狗，那就要在当天晚上把狗打死。由于每户人家都不了解自己的情形，所以一开始不会有人家打死自己的狗。现在，从外面的世界来了一位旅行者，他/她&b&当着全村人民的面&/b&说：“这个村子里有疯狗。”接下来的情况很有意思，假设村民都相信这句话，都是理性的，每天做一次判断。那么，如果原来村子里有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&条疯狗，那么这些疯狗会在第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&天晚上被一起打死。&/p&&br&&p&大致分析如下：如果村里只有一条疯狗，那么，疯狗的主人将马上意识到自己的狗疯了，并且将狗打死。如果村里有两条疯狗，每一疯狗的主人都可以看到岛上还有一条疯狗。所以第一天晚上无事发生。但是，在第二天，疯狗的主人会意识到：另外一条疯狗的主人也知道村里至少有一条疯狗，而他/她没有选择打死自己的狗，这说明村里至少还有一条疯狗。由于村里只有两条疯狗，所以其它的狗都是正常的，所以可以推出最后，两条疯狗将在第2天晚上被一起打死。类似的分析可以容易地推广到更大的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&解这道题关键就在共同知识。以&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N%3D2& alt=&N=2& eeimg=&1&&为例，在旅客到来之前，每个人都知道岛上有疯狗，因为每个人都至少可以看见一条疯狗，但没有人行动，因为每个人都&b&不知道其他人是否知道岛上有疯狗&/b&。旅客到来之后，由于宣告当着所有人的面做出，每个人都看到其他人听到了宣告，这意味着他们知道其他人知道岛上有疯狗，也知道其他人知道自己知道其他人知道岛上有疯狗，依此类推。也即“岛上有疯狗”这一命题已经成为了公共知识。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N%3D2& alt=&N=2& eeimg=&1&&时，我们需要用到第2层知识，当我们面对的是一般的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&时，我们需要用到第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&层知识。&/p&&br&&p&类似题目非常多，以下再列举两道，其中都渗透了共同知识的思想[1]。一排学生，有的戴白帽子，有的戴红帽子，此时老师来一句，你们中有人戴了白帽子，是否每个学生都能猜出自己所戴帽子的颜色？另一个谜题是：两个儿子预期父亲会把数量为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=10%5Ex& alt=&10^x& eeimg=&1&&的钱装在两个信封里，一人得到一个，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&取值在1到6之间。现在他们打开信封，一个发现里面有10000元，一个发现里面有100000元，他们彼此不知道金钱数额。现在，父亲分别问他们：你愿意出1块钱来换对方手里的信封吗？毫无疑问，第一轮两个人都愿意换。如果父亲接下来一直问这个问题，大家可以想想，他们会一直愿意换吗？如果不是，哪一轮会开始出现否定答案？&/p&&br&&p&我们接下来再给出一个更令人震惊的例子，即是楼主的问题，来自Rubinstein（1989）。&/p&&br&&p&假设有两个将军，分别是A和B，要向敌方部队发起进攻（也可以想象成是两支基金要对一种主权货币发起进攻，等等），两军分驻两地，面对两支对方部队。对方兵力的分布有两种可能，如果判断错误，攻击会没有效果。同时，由于己方兵力不足，必须要同时发起攻击，否则会损兵折将。A将军知道敌方兵力的分布，而B将军只有一个先验概率。这意味着我们面对一个如下图所示的博弈，其中，第一行代表策略A进攻a，第二行代表A进攻b，第一列代表B进攻a，第二列代表B进攻b。每一格中第一个数字是A将军将获得的效用，第二个数字是B将军将获得的效用。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/290ca476c8e36479eada2d08cbb00879_b.jpg& data-rawwidth=&811& data-rawheight=&197& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&811& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/290ca476c8e36479eada2d08cbb00879_r.jpg&&&/figure&&br&&p&现在，为了取得最好的进攻效果，将军A需要把敌方主力在a这一点告诉将军B，由于那时还没有电话，他只能派出一个通信兵。通信兵在抵达将军B的驻地之后，会将敌方信息告知B。B会向通信兵说明自己已经知道了这个信息，并将这个信息返回给A，依此类推。由于通信兵在中途可能被敌方抓到，所以每次传递的信息都有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3E0& alt=&\varepsilon&0& eeimg=&1&&的可能无法顺利到达对方。为弄明白这意味着什么，我们先回忆一下前面提到的共同知识这个概念。如果将军A、B都知道对方驻地，并且他们都知道对方知道对方驻地，他们都知道对方知道自己知道对方知道对方驻地，依此类推，我们就称地方驻地在a这一点是A和B之间的共同知识。在博弈的一开始，敌方兵力在b这一点只是A的私人知识，B根本就不知道。如果通信兵已经完成了从A到B的旅行，那么这一点就成为A和B的共有知识，A知道，B知道，但A不知道B知道。当通信兵又从B返回A时，此时A确知B已经知道了这一点，但B并不知道A是否知道自己已经知道了。因此，只有让通信兵在两个地方之间跑无限趟，我们才能把这个知识变为共同知识。&/p&&br&&p&如果敌方驻地真是共同知识，那么，两位将军之间可以很容易地达成协调，但现在并非如此。因为通信兵每次旅行都有一个正概率被俘获，所以他/她能够顺利旅行无数次的可能性收敛到0，这意味着“敌方驻地为a”这一点以概率1不是共同知识。Rubinstein证明了下列命题：&b&这个博弈唯一的纳什均衡是双方都不进攻，协调失败&/b&[2]。这实际上说明：任意阶的共有知识都不能完全替代共同知识。共同知识在很多时候是严格紧的要求，不能再放松，否则就有可能出现类似邮件博弈的情形。&/p&&br&&p&为了严格处理共同知识，我们需要先定义知识。为定义知识，我们需要先定义我们的认知世界，这一贡献来自哲学家Hintikka。博弈论的发展和哲学，尤其是分析哲学的发展密不可分，以后我们会越来越多地看到这一点。在Hintikka的模型中，人的认知可以用下面的二元组&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%5COmega+%2CP%29& alt=&(\Omega ,P)& eeimg=&1&&[3]
来描述，其中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega+& alt=&\Omega & eeimg=&1&&是世界所有可能状态的集合，P是认知函数，是从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+%5Cin+%5COmega+& alt=&\omega \in \Omega & eeimg=&1&&到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7B%5COmega+%7D+& alt=&2^{\Omega } & eeimg=&1&&的映射，它把每一个世界的真实状态映射成世界全体状态的一个子集。我们可以直观方式来理解这个模型。假设现在世界状态集合中有以下元素：A食品是转基因，A食品是非转基因，A食品对身体无害，A食品对身体有害。当状态“A食品是转基因”出现时，一位生物科学家的P会映射出子集｛A食品是转基因，A食品对身体无害｝，而一位反转派的P则会映射出子集｛A食品是转基因，A食品对身体有害｝。有可能还有一类人比较“糊涂”。他们对转基因一无所知，甚至根本没听过，那就谈不上了解了。由于没有任何信息，此时他/她的P会映射出｛A食品是转基因，A食品对身体无害，A食品对身体有害｝，他/她无法排除任何一种可能。
&/p&&br&&p&我们不可能对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%5COmega+%2CP%29& alt=&(\Omega ,P)& eeimg=&1&&不做任何限制，这不仅违反直观，也导致我们无法做任何推断。以下三个公理是必须的，部分学者也用这几个公理来定义理性。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/183ac9fae783_b.jpg& data-rawwidth=&418& data-rawheight=&151& class=&content_image& width=&418&&&/figure&&br&&p&公理1意味着无论世界真实状态为何，人总是不会愚蠢到将真实状态排除出自己的认知。也可以解释成，人可以被迷惑，但不会荒唐到完全不顾真实。同时，这个公理也意味着对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Comega+%5Cin+%5COmega+%2CP%28%5Comega+%29%5Cne+%5Cemptyset& alt=&\forall \omega \in \Omega ,P(\omega )\ne \emptyset& eeimg=&1&&。公理2和3稍微有些抽象，我们可以做直观一些的理解。考虑公理2，如果世界的真实状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&，但人无法区分开&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D+& alt=&\omega^{'} & eeimg=&1&&，这意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&必须包含了如果世界状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D+& alt=&\omega^{'} & eeimg=&1&&时所有可能的认知。如果不是这样，假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29& alt=&P(\omega^{'})& eeimg=&1&&中有一个元素不属于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&，那一旦&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D& alt=&\omega^{'}& eeimg=&1&&出现，我们应当能够区分&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29& alt=&P(\omega^{'})& eeimg=&1&&，因为后者中至少有一个元素在前者中找不到。既然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29& alt=&P(\omega^{'})& eeimg=&1&&可以被区分开，自然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D& alt=&\omega^{'}& eeimg=&1&&也可以被区分开。运用类似的想法我们可以说明公理3的合理性，而将公理2以及公理3合并，我们可以得到以下结论：如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D%5Cin+P%28%5Comega%29%2CP%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29%3DP%28%5Comega%29& alt=&\omega^{'}\in P(\omega),P(\omega^{'})=P(\omega)& eeimg=&1&&。&/p&&br&&p&Hintikka模型的威力在于我们可以通过划定一组分割来说明人的知识结构，也即下列命题成立：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%5COmega+%2CP%29& alt=&(\Omega ,P)& eeimg=&1&&满足公理1-3当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&被划分成一些彼此不相交的子集，这些子集的并构成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&，同时对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+%5Comega+%5Cin+%5COmega& alt=&\forall \omega \in \Omega& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&等于划分中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&从属的子集。充分性是显然的，为说明必要性，只需要注意到如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%5E%7B%27%7D+%5Cin+P%28%5Comega%29& alt=&\omega^{'} \in P(\omega)& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%5E%7B%27%7D%29%3DP%28%5Comega%29& alt=&P(\omega^{'})=P(\omega)& eeimg=&1&&给出了一组等价关系[4]。于是，我们下面用划分来指代个体的认知结构。&/p&&br&&p&我们现在可以定义知识。需要说明的一点是，我们迄今为止仍没有为知识/知道给出一个令大部分人满意的解释，因此，我们使用的模型只是一些可能说明“知识是什么”的模型中的一种，并非最终的答案。亚里士多德提出了知识的JTB准则：知识是被证成的真信念（Justified True Belief，简称JTB。此处的证成可以理解为“有力地辩护”，但具体何为证成仍是甚为复杂的问题，至今仍是分析哲学研究的问题）。以物理学为例，在LIGO探测突破之前，我们相信引力波存在，这是信念。我们有相对论做支持，这是证成。现在，我们又实际探测到了引力波，于是这是真的，引力波在JTB准则下成为了知识。在2000多年的时间里，亚里士多德的理论一直被奉为圭臬。但是，盖梯尔在1963年提出了一个著名的反例，也叫做盖梯尔问题。想象一个人计划烧掉一个谷仓，他/她认为只需要一根火柴就可以做到这一点，于是点燃了火柴。谷仓确实被烧掉了，但仅凭火柴未必是足够的，因为当时谷仓的角落还有几大桶汽油。这个例子满足JTB中的所有要素，但这个人拥有的真是知识吗？还是只是碰对运气的信念？这个问题迄今为止仍未完全解决。类似的情景在生活中经常出现，想象一位欣喜赴约的女孩，到达约定地点时发现男孩早已在哪儿等待，她由此推断出男孩儿非常在乎她。这是个信念，也确实是真的，男孩儿确实在乎她，但男孩早到其实是因为他记错了时间。这时信念也满足JTB，但这真是知识吗？我们并不清楚。我们只能先假设一些比较合理的公理，然后在此基础上发展理论。&/p&&br&&p&前面提到，我们可以证明：理性三公理意味着我们总是可以把包含世界全体状态的集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&划分成一些互不相交但合为全集的子集。在此基础上，我们正式阐述何谓知识。假设世界全体状态集合为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&，世界中有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个个体。我们定义事件为世界全体状态集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的一个子集&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Csubseteq+%5COmega& alt=&X\subseteq \Omega& eeimg=&1&& 。我们同时定义个体&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下知道事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29+%5Csubseteq+X& alt=&P(\omega) \subseteq X& eeimg=&1&&。如果每个人都是理性的，则每人可对应到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的一种划分。我们将第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个个体划分记为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bi%7D+& alt=&\mathcal{F}_{i} & eeimg=&1&&[5]，记其中子集为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D+%5Csubseteq+%5Cmathcal%7BF%7D_%7Bi%7D& alt=&F_{i} \subseteq \mathcal{F}_{i}& eeimg=&1&&，这定义了第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个个体的认知结构，则以上定义也可重写为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D%3A%5Comega+%5Cin+F_%7Bi%7D& alt=&F_{i}:\omega \in F_{i}& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D+%5Csubseteq+X& alt=&F_{i} \subseteq X& eeimg=&1&&。于是我们定义了知道算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&，这是从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7B%5COmega%7D& alt=&2^{\Omega}& eeimg=&1&&到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7B%5COmega%7D& alt=&2^{\Omega}& eeimg=&1&&的一个映射[6]。利用定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D%3A%5Comega+%5Cin+F_%7Bi%7D& alt=&F_{i}:\omega \in F_{i}& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D+%5Csubseteq+X& alt=&F_{i} \subseteq X& eeimg=&1&&，我们可定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_%7Bi%7D& alt=&K_{i}& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_%7Bi%7DX& alt=&K_{i}X& eeimg=&1&&意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，这同时意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&的知识。&/p&&br&&p&这个定义相当抽象，让我们再举一个例子来阐明这样建模道理何在。想象一位正在规划未来人生的青年，他所面临的全集包含以下元素｛语文好，数学好，英语好，适合研究文学，适合研究历史，适合研究物理，适合研究经济学｝。现在取&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D& alt=&\omega=& eeimg=&1&&数学好，如果是一个人生规划非常明确的青年，那他的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&应该很小，比如说&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28& alt=&P(& eeimg=&1&&数学好&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%29%3D& alt=&)=& eeimg=&1&&{适合研究物理}。如果对未来感觉非常迷茫或者不确定，那这个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&就会很大，比如说&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28& alt=&P(& eeimg=&1&&数学好&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%29%3D& alt=&)=& eeimg=&1&&{适合研究物理，适合研究经济学}。当然，也有可能他/她脑子里只有一团浆糊，对未来完全没有愿景，此时集合根本没有划分，所有的元素都混在一起。给定理性三公理，我们可以定义精细划分和粗糙划分的概念。面对同样的世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，精细划分中包含&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&的集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i& alt=&F_i& eeimg=&1&&相对较小，粗糙划分中对应的集合&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D%5E%7B%27%7D+& alt=&F_{i}^{'} & eeimg=&1&&更大，即有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Card%28F_i%29%5Cleq+Card%28F_%7Bi%7D%5E%7B%27%7D%29& alt=&Card(F_i)\leq Card(F_{i}^{'})& eeimg=&1&&。又由于每一个体都是理性的，所以实际上我们有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i+%5Csubseteq+F_%7Bi%7D%5E%7B%27%7D& alt=&F_i \subseteq F_{i}^{'}& eeimg=&1&&。这意味着虽然每个人的知识水平不同，有的掌握得更清晰，有的掌握得更糊涂，但他们都不会糟糕到弄错世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，只是在对应的划分精细程度上有区别。同样是蜘蛛，有的人知道这是动物，有的人知道这是节肢动物，有的人能精确到节肢动物门蛛形纲。能够把世界看得更细，意味着知识更深入，也意味着集合划分的精细程度可以刻画知识水平。在更加抽象的意义上，对于任何一个问题，我们都可以划出是和否两种状态。如果一个人知道这一问题，这意味着他/她能够把这两个元素分开，划到不同的子集中；如果他/她不知道，这两个元素就划不开[7]。&/p&&br&&p&假设现在已经有了一个划分&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D_i& alt=&\mathcal{F}_i& eeimg=&1&&，我们可能会疑惑为何如此定义知识算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_i& alt=&K_i& eeimg=&1&&，背后的意义是什么？首先我们注意到一点：既然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D_i& alt=&\mathcal{F}_i& eeimg=&1&&是一个划分，这意味着其中的每个集合都不交。又因为每一划分都对应于认知函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29& alt=&P(\omega)& eeimg=&1&&，所以个体可以完美地区分两个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i& alt=&F_i& eeimg=&1&&分。注意到我们定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i%3A%5Comega+%5Cin+F_i& alt=&F_i:\omega \in F_i& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_i+%5Csubseteq+X& alt=&F_i \subseteq X& eeimg=&1&&，这意味着只要世界状态确实是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&必定会实现，必定一词由集合的包含关系保障。举一例子，假如世界状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D& alt=&\omega=& eeimg=&1&&我很快乐，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%28%5Comega%29%3D& alt=&P(\omega)=& eeimg=&1&&｛我很快乐，我很兴奋，我很感动｝，这就意味着我自己区分不出这三种状态。我们再定义两个集合，一个是我心情很好，包含四个元素：我很快乐、我很兴奋、我很虔诚、我很感动。另一个是我情绪很激动，包含我很快乐、我很兴奋、我很激动、我很生气。那么，在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega%3D& alt=&\omega=& eeimg=&1&&我很快乐的情况下，我是知道自己心情很好的。因为可能和快乐混淆的另外三种情感都包含在心情很好这一事件中；但我不知道我是否情绪激动，因为在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下，我也有可能是感动，而这并不包含在情绪激动这个事件中。所谓知识，就是再怎么错，这个事也是这个理儿的意思。我们有时候可能在蜘蛛是不是昆虫上犯迷糊，这是在两个纲之间发生了混淆，但我们肯定知道蜘蛛属于节肢动物门。因此，我们可以说我们&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&“蜘蛛属于节肢动物门”，这是对的，但不能说我们&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&“蜘蛛属于节肢动物门蛛形纲”，因为我们可能会把蜘蛛和昆虫搞混。
&/p&&br&&p&注意到算子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的一个子集映成另一个子集，因此我们可以作高阶知识的定义。&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_jK_iX& alt=&K_jK_iX& eeimg=&1&&就意味着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j& alt=&j& eeimg=&1&&知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，依此类推。这就把我们嘴巴上说的知道用集合论的语言严格地表达了出来。可以证明知识算子具有下面6个性质。这些性质和理性的定义一脉相承。其中第2点对应注8[8]。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/d9a6da7be15e6e5ee50d4ca_b.jpg& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&311& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/d9a6da7be15e6e5ee50d4ca_r.jpg&&&/figure&&br&&p&这些性质的证明都不困难，直接验证即可。需要特别说明的是，把第六点拿掉，前五点本身也可构成知识的定义（第六点本身也只是个推论）。这一贡献来自天才的分析哲学家Kripke，也叫做Kripke S5系统。这个系统和我们前面定义的知识算子等价：我们既可以验证知识算子满足这5个命题；也可以证明这5个命题能够诱导出一个映射，其形式恰好就是我们前面定义的知识算子[9]。从直观上来说，这五个命题分别有各自现实意义。第一点意味着个体知道世界的全体状态是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&。第二点意味着如果一个人知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&会实现，因为其中包含了世界的真实状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，这也可以通俗地理解为“知识是真的”。第三点意味着如果一个人同时知道事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&和事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&，那他/她也会知道事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Ccap+Y& alt=&X\cap Y& eeimg=&1&&。第四点意味着如果一个人知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，那他/她也知道自己知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。第五点意味着如果一个人不知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，那么他/她知道自己不知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。这五个公理共同规范了我们观念中的知识概念，同时诱导出了一个定义在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%5COmega& alt=&2^\Omega& eeimg=&1&&上的知识算子。而第六点性质则意味着如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&已知，所有为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&蕴含的事实也是知识。&/p&&br&&p&我们接下来介绍无穷阶次知识这一概念。前述记号保持不变，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个个体，事件&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，第个个体记为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&。我们首先逐个询问&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个个体：你知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&吗？如果知道，记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_iX& alt=&K_iX& eeimg=&1&&；如果不知道，记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28k_iX%29%5Ec& alt=&(k_iX)^c& eeimg=&1&&。我们接下来再从第一个个体开始，询问他/她&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&个问题：你知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&知道/不知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&吗？如果回答知道，我们记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K_1K_iX& alt=&K_1K_iX& eeimg=&1&&，如果回答不知道，我们记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28K_1K_iX%29%5Ec& alt=&(K_1K_iX)^c& eeimg=&1&&，依此类推。在第二层询问中，我们可以记下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N%5E2& alt=&N^2& eeimg=&1&&个答案。同样的询问可以继续进行下去，比如说，我们可以问第2个人：你知道第4个人知道第5个人知道第3个人知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&吗？把这样的答案一层层一层层地垒起来，我们就得到了无穷阶次的知识。从这里可以很自然地得到共同知识比较严格的定义。保持以上记号，则我们称&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下的共同知识，当且仅当对任意有限长序列&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i_1i_2i_3...i_l& alt=&i_1i_2i_3...i_l& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+%5Cin+K_%7Bi_1%7DK_%7Bi_2%7DK_%7Bi_3%7D...K_%7Bi_l%7DX& alt=&\omega \in K_{i_1}K_{i_2}K_{i_3}...K_{i_l}X& eeimg=&1&&。这意味着，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识，当且仅当有关&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的问题在无穷阶次知识的每一层都得到肯定的回答。这个定义初看起来和我们平时谈论的形式没有任何区别，但它已经算是严格表述了。Aumann证明了共同知识可以由如下条件得到判定：记&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&是所有参与者中最粗糙划分，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D%3D%5Cmathcal%7BF%7D_1%5Cwedge+%5Cmathcal%7BF%7D_2+%5Cwedge+%5Cmathcal%7BF%7D_3+%5Cwedge...%5Cwedge%5Cmathcal%7BF%7D_N& alt=&\mathcal{F}=\mathcal{F}_1\wedge \mathcal{F}_2 \wedge \mathcal{F}_3 \wedge...\wedge\mathcal{F}_N& eeimg=&1&&，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下的共同知识的充要条件是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D%28%5Comega%29+%5Csubseteq+X& alt=&\mathcal{F}(\omega) \subseteq X& eeimg=&1&&[10]。&/p&&br&&p&Aumann的定理可以按如下方法直观理解：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&是所有划分中最粗糙的，也就是说在每个世界状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&都会给出在这个状态下最糊涂的人的判断。如果糊涂到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&这个程度还能知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，这就意味着所有人都应该知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&。又因为所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&是最糊涂的，或者说是最笨的，集中了所有最糊涂的判断，所以他们也应该知道其他人也能够知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，如此推断下去即可以构造符合要求的无穷阶次知识。除了Aumann的方法，我们还可以用Milgrom的方法来定义共同知识。Milgrom的方法和我们前面理解知识的方法是一致的：公理化。记“在状态&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识”这一事实为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=CK_X& alt=&CK_X& eeimg=&1&&，我们有下列四条公理。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/9a987c8f639b83aacabd2_b.jpg& data-rawwidth=&674& data-rawheight=&231& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&674& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/9a987c8f639b83aacabd2_r.jpg&&&/figure&&br&&p&第一条公理意味着共同知识能够实现，第二条公理意味着如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识，那么所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是共同知识。反复运用这两条公理可以直接得到共同知识的直观含义。假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&实现了，根据公理2，假如&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识，那么所有人都应该知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识，而这又意味着“所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识”这个事实的实现，运用公理1可知这也应该是个共同知识，于是再次运用公理2可以得到“所有人都知道所有人都知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是个共同知识”这一事实，依次类推即可得到无穷阶次的性质。第三条性质意味着如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&是共同知识，那么所有可以从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&推出来的命题也应该是共同知识。第四条性质则意味着在全体参与者面前发生的事情是公共知识。像我们一开始提到的疯狗谜题，其中旅行者在人们面前喊出的“岛上有疯狗”这个事实满足公理4，所以就是共同知识。这里的“在全体参与者面前发生”也未必要是真正的面对面。一个微信群、一篇文章的评论区或者一个BBS，上面的内容对于全体参与者来说都是共同知识。Milgrom进一步证明了：这四个公理可诱导出唯一的共同知识算子，且这个算子恰好就是Aumann给出的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28%5Comega%29+%5Csubseteq+X& alt=&F(\omega) \subseteq X& eeimg=&1&&[11]。&/p&&br&&p&最后，我们简单叙述在有限参与者的静态博弈中构成纳什均衡的知识条件。所谓知识条件，指的是为了使得纳什均衡实际上被执行，能被玩出来，博弈参与者需要知道些什么。在两人博弈中，如果双方都知道（这里的知道可以形式化成算子）对方的支付函数、对方的策略集以及对方是理性的，并且知道对方对自己行为的猜测，那么他们彼此的猜测构成一个纳什均衡。在三人或更多参与者的博弈中，我们要求参与者都知道彼此的支付函数、策略集以及彼此都是理性的，且每个人对其他人策略的猜测都是共同知识。以上两个条件都是充分但不必要的，不满足这些条件也有可能形成纳什均衡。但它们都是紧的，每一点放松都会造成反例[12]。动态完全信息博弈中的知识条件由Battigalli和Siniscalchi给出，但这已经超出了课程范围[13]。动态博弈中更多相关结果可在Perea的教科书&i&Rationality in Extensive Form Games&/i&中找到。&/p&&br&&p&如果对博弈论的这个分支，博弈论的知识理论（Epistemological Game Theory，EGT）感兴趣，希望挖掘更加深入的知识， Perea的教科书&i&Epistemic Game Theory: Reasoning and Choice&/i&是不错的选择。另一本很困难的读物是Brandenburger的&i&The Language of Game Theory: Putting Epistemics into the Mathematics of Games&/i&，是领域内经典论文集。此外，共同知识本身也可以用来分析很多生活中的现象，这方面一本非常出色的著作来自Michael Suk-Young Chwe，一位著名的韩裔理论经济学家。他写作的&i&Rational Ritual: Culture, Coordination, and Common Knowledge&/i&旁征博引，用共同知识分析了许多不同领域的问题，比如非洲的聚会民俗、美国南方的舞会、法国大革命中的仪式、超级碗的中场广告，以及休谟的环形监狱，等等。这是直观了解共同知识的很好的途径。&/p&&br&&p&注解：&/p&&br&&p&[1]这两个例子都来自Geanakoplos（1992）。谜题的完整表述以及严格解法均可在原文中找到。如果对讲义中命题或具体阐述有进一步的兴趣，可以在脚注中找到相应信息。
&/p&&br&&p&[2]如果对证明有兴趣，请参见Rubinstein（1989）。
&/p&&br&&p&[3]我们此处假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是有限集合。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是无限集时，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%5COmega& alt=&2^\Omega& eeimg=&1&& 的结构可能会非常复杂，需要添加更多限制。
&/p&&br&&p&[4]如果对完整证明有兴趣，请参见Rubinstein（1998）书中命题3.1的证明。
&/p&&br&&p&[5]这是集合的集合。当后面我们提及精细/粗糙的概念时，我们实际上是在讨论一个域流。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&很复杂时，讨论&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&也是很困难的。
&/p&&br&&p&[6]这个知识算子本身的“有效性”和“合理性”等讨论已经属于分析哲学/数理逻辑的范畴。如果有兴趣，可以参见Kripke（1959）。
&/p&&br&&p&[7]这种说法是非正式的。如果允许和各种性质相联系的集合，我们就得到了所谓的“万有公理”。如果我们还承认其它一些公理，这将导出悖论。一个非正式的讨论见《陶哲轩实分析》3.2。
&/p&&br&&p&[8]关于这一公理长期以来一直存在争议，分析哲学家已经构造出了一些反常的例子。在目前使用的模型中，如果把这一公理拿掉，剩下的4条公理构成S4系统，这构成信念的定义。基于信念我们同样可以构造无穷阶次的共识。假设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是可数的完备可分度量空间，且&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5COmega& alt=&\Delta \Omega& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&上Borel集生成的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域中赋有弱收敛拓扑的全体概率测度，我们可以将信念层次写成以下形式：令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_1%3D%5CDelta+%5COmega& alt=&X_1=\Delta \Omega& eeimg=&1&&代表博弈参与者对世界状态的信念，则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_2%3D%5CDelta%28X_1%5Ctimes+%5COmega%29& alt=&X_2=\Delta(X_1\times \Omega)& eeimg=&1&&代表了对信念的信念，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_%7Bi%2B1%7D%3D%5CDelta%28X_i%5Ctimes+%5COmega%29& alt=&X_{i+1}=\Delta(X_i\times \Omega)& eeimg=&1&&代表对上一阶信念的信念，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cprod_%7B%5Ctimes+%7D%5E%7B%5Cinfty%7DX+& alt=&\prod_{\times }^{\infty}X & eeimg=&1&&就构成了一个无穷阶次的信念空间。&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cprod_%7B%5Ctimes+%7D%5E%7B%5Cinfty%7DX+& alt=&\prod_{\times }^{\infty}X & eeimg=&1&&需要满足一致性，亦即由高阶信念诱导出的分布（边缘分布）与低阶信念一致。Brandenburger和Dekel证明了这样的信念空间是存在的，并且，令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta_i+%5Cin+X_i+& alt=&\delta_i \in X_i & eeimg=&1&&，我们总是可以构造出一个向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&作为参与者的type，且全体满足一致性的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&构成的空间&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5COmega+%5Ctimes+T& alt=&\Delta \Omega \times T& eeimg=&1&&微分同胚。这意味着type完整地反映了全体可能的信念。当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&是不可数集合时，我们需要一个空状态才能实现这一点，同时全体参与者的划分集合都应该是可测集，此时知道也被定义为“赋予概率1”。Heifetz和Samet证明了这样一个满足一致性的无穷阶次的知识空间是不存在的。
&/p&&br&&p&[9]如果对证明有兴趣，可以参考Maschler，Solan和Zamir（2013），这是习题9.2。有兴趣的可以在这本书的末尾得到简单的提示。
&/p&&br&&p&[10]如果对证明有兴趣，请参见Aumann（1976）。
&/p&&br&&p&[11]如果对证明有兴趣，请参见Milgrom（1981）。
&/p&&br&&p&[12]如果对证明和相应的反例有兴趣，请参见Aumann和Brandenburger（1995）。在这篇论文中，他们将混合策略理解为对对手策略集的猜测。此外，得到多人情形中的相关命题需要Harsanyi的共同先验假设（又称一致性假设），对这一假设的严格讨论很复杂，如果有兴趣，请参见Morris（1995）。
&/p&&br&&p&[13]如果对结论和证明有兴趣，请参见Battigalli和Siniscalchi（2002）。&/p&&br&&p&参考文献：
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Knowledge.&[J]. American Economic Review, ): 385-91.&/p&
能自己把信封博弈琢磨出来，只能说题主绝对是天才。这是博弈论里核心概念之一，叫共同知识。上学期做本科博弈论助教时恰好就这个知识点为课程写过补充讲义，就借来答题了。略长，而且大多是口语表述，不严格，证明也基本全部省略。如果有进一步需求可以到脚…
&h2&零、干支次序&/h2&&blockquote&&p&天干: 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸&/p&&p&地支: 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥&/p&&/blockquote&&p&後文以數字表示干支時，即是以此次序用1~10或1~12來代表。干支各自均陰陽相間排列，並以陰陰或陽陽的方式互相結合成爲干支序列 (譬如有甲子、丙子，而無乙子、丁子) ，因而只有六十甲子，而非百二 (10×12) 甲子。&/p&&h2&壹、干支紀年&/h2&&p&公元元年 (即公元/西元紀年的第一年) 爲辛酉年，公元三年爲癸亥年 (六十甲子之末) ，公元前一年 (即公元元年的上一年；須注意無公元〇年) 爲庚申年。因此推算年干以公元三年作爲參考。而公元前的表記因爲與含0的整數序列不符，需要加1補足。若公元紀年爲&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=J& alt=&J& eeimg=&1&&，公元前以負數表示，則有&/p&&blockquote&&p&公元後年干&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+J-3+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D%5C+10%2C+%5C+%5C+J+%3E+0& alt=&\sigma_{\text{j}} = \left( J-3 \right) \text{mod}\ 10, \ \ J & 0& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&公元前年干&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+J-3%2B1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D%5C+10+%3D+%5Cleft%28+J-2+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D%5C+10%2C+%5C+%5C+J+%3C+0& alt=&\sigma_{\text{j}} = \left( J-3+1 \right) \text{mod}\ 10 = \left( J-2 \right) \text{mod}\ 10, \ \ J & 0& eeimg=&1&&&br&&/p&&/blockquote&&p&類似地，有&/p&&blockquote&&p&公元後年支&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+J-3+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D%5C+12%2C+%5C+%5C+J+%3E+0& alt=&\beta_{\text{j}} = \left( J-3 \right) \text{mod}\ 12, \ \ J & 0& eeimg=&1&&&/p&&p&公元前年支&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+J-2+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D%5C+12%2C+%5C+%5C+J+%3E+0& alt=&\beta_{\text{j}} = \left( J-2 \right) \text{mod}\ 12, \ \ J & 0& eeimg=&1&&&br&&/p&&/blockquote&&p&【例】公元2000年是何年？&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1997+%5C++%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10+%3D+7+%5Crightarrow+& alt=&1997 \
\text{mod} \ 10 = 7 \rightarrow & eeimg=&1&&庚；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=1997+%5C++%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+12+%3D+5+%5Crightarrow+& alt=&1997 \
\text{mod} \ 12 = 5 \rightarrow & eeimg=&1&&辰。故公元2000年爲庚辰年。&/p&&br&&p&【例】公元前8年是何年？&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-10+%5C++%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10+%3D+0+%5Crightarrow+& alt=&-10 \
\text{mod} \ 10 = 0 \rightarrow & eeimg=&1&&癸；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-10+%5C++%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+12+%3D+2+%5Crightarrow+& alt=&-10 \
\text{mod} \ 12 = 2 \rightarrow & eeimg=&1&&丑。故公元前8年爲癸丑年。&/p&&p&【註】Mod求餘運算的結果若爲0，則表示能夠整除，相應的干支爲10癸或12亥。干支曆以立春劃分年界，與農曆的春節、公曆的元旦均有不同程度的差別；因此，上述運算計算的是公元年與干支年重合的部分，計算時應注意。以地支記錄生肖的是干支曆，因此日是元旦，1月23日是春節，而2月4日才是壬辰龍年的開始。&/p&&h2&貳、干支紀月&/h2&&p&干支曆對月的劃分有別於農曆。農曆屬陰陽曆，兩朔之間爲一個月，廿四四節氣中冬至所在的兩朔之間爲冬月，次月爲臘，再次爲正；而干支曆則屬太陽曆，以廿四節氣中的十二節爲月首，至下一個節爲一個月，中間包含一個氣，立春建寅，是爲正月 (即始於立春，包含穀雨，終於驚蟄前一天) 。因此，與紀年類似，干支曆子月與農曆冬月以及公曆十二月均不完全一致。記當年年干爲&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D& alt=&\sigma_{\text{j}}& eeimg=&1&&，當月爲公曆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&月，則有&/p&&blockquote&&p&月干&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bm%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+2%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D%2BM-1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10& alt=&\sigma_{\text{m}} = \left( 2\sigma_{\text{j}}+M-1 \right) \text{mod} \ 10& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&月支&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta_%7B%5Ctext%7Bm%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+M%2B1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+12& alt=&\beta_{\text{m}} = \left( M+1 \right) \text{mod} \ 12& eeimg=&1&&&br&&/p&&/blockquote&&p&【例】已知公元2000年是庚辰年，當年8月是何月？&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+7%5Ctimes+2+%2B8-1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10+%3D+1+%5Crightarrow+& alt=&\left( 7\times 2 +8-1 \right) \text{mod} \ 10 = 1 \rightarrow & eeimg=&1&&甲；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+8%2B1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+12+%3D+9+%5Crightarrow+& alt=&\left( 8+1 \right) \text{mod} \ 12 = 9 \rightarrow & eeimg=&1&&申。故公元2000年8月爲甲申月。&/p&&br&&p&【註】前文已經提到，公曆、農曆、干支曆月份並不完全重合，因此更具體的干支月起訖還應結合當年當月的節氣來確定，4~9日之前屬上月，之後屬本月。&/p&&h2&叁、干支紀日&/h2&&p&干支紀日的發明與干支紀年月相獨立，即自定某天爲某干支日始，依次類推，六十天一循環。欲推算公元某年某月某日的干支，記該年爲&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=HJ& alt=&HJ& eeimg=&1&&，前後各兩位，該月爲&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&，該日爲&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&，損益變數爲&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&，則有&/p&&blockquote&&p&公曆日序&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+44H%2B%5Cleft%5C%7B+0.25H+%5Cright%5C%7D+%2B5J%2B+%5Cleft%5C%7B0.25J%5Cright%5C%7D%2B30%5Cleft%5B+%5Cleft%28+M-1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+2+%5Cright%5D+%2BD+%2B9+%2B%5Calpha+& alt=&N_{\text{d}} = 44H+\left\{ 0.25H \right\} +5J+ \left\{0.25J\right\}+30\left[ \left( M-1 \right) \text{mod} \ 2 \right] +D +9 +\alpha & eeimg=&1&&&/p&&br&&p&公曆日干&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+N_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%5C+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10& alt=&\sigma_{\text{d}} = N_{\text{d}} \ \text{mod} \ 10& eeimg=&1&&&/p&&br&&p&公曆日支&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+N_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%5C+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+12& alt=&\beta_{\text{d}} = N_{\text{d}} \ \text{mod} \ 12& eeimg=&1&&&/p&&/blockquote&&p&其中，含&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&&部分爲該世紀之前增加的不完整甲子天數 (大括號內爲向下取整運算，將閏年考慮進來，下同)；含&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=J& alt=&J& eeimg=&1&&部分爲該世紀始至該年增加的不完整甲子天數，每年365天，多出5個不完整甲子天數；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=30%5Cleft%5B+%5Cleft%28+M-1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+2+%5Cright%5D& alt=&30\left[ \left( M-1 \right) \text{mod} \ 2 \right]& eeimg=&1&&即是雙月加30，單月則不加，因兩個月60天爲一個完整甲子；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&爲損益變數，公式之前的部分均是建立在各月均爲30天，單月佔六十甲子的前30個，而雙月佔後30個之假設上的，變數&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&即是用來調整月份不滿或超過30天時造成的損益。&/p&&p&【例】試確定7月份的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&值。&/p&&p&因干支曆子月一般始於公曆的上年12月，因此計算大小月時從12月算起。7月前的大月有12月、1月、3月、5月，較每月30天各多出1天，而2月28天，抵消2天，故7月份的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&值爲2。&/p&&p&【例】試確定1月份的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&值。&/p&&p&1月前的大月只有12月，多出1天。若非閏年，則1月份的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&值爲1。若爲閏年，則應再去掉一天，1月份的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&值爲0。因爲閏年的因素已經在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+0.25J%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ 0.25J\right\} & eeimg=&1&&中計算過了，而1月和2月都還沒有受到置閏的影響，應當把&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+0.25J%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ 0.25J\right\} & eeimg=&1&&中多算的一天減去。2月29日置閏後，3月的計算才恢復正常。&/p&&p&【例】公元日是何日？&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+44%5Ctimes+19+%2B4%2B5%5Ctimes+99%2B24%2B16%2B9%2B2+%3D1386& alt=&N_{\text{d}} = 44\times 19 +4+5\times 99+24+16+9+2 =1386& eeimg=&1&&&br&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+6%5Crightarrow+& alt=&\sigma _{\text{d}} = 6\rightarrow & eeimg=&1&&己；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta+_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+6%5Crightarrow+& alt=&\beta _{\text{d}} = 6\rightarrow & eeimg=&1&&巳。故該日爲己巳日。&/p&&br&&p&【例】公元日是何日？&/p&&p&2月前有12月和1月兩個大月，閏年抵消1天，故&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+& alt=&\alpha & eeimg=&1&&值爲1。&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+44%5Ctimes+19+%2B4%2B5%5Ctimes+96%2B24%2B30%2B21%2B9%2B1+%3D1405& alt=&N_{\text{d}} = 44\times 19 +4+5\times 96+24+30+21+9+1 =1405& eeimg=&1&&&br&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+5%5Crightarrow+& alt=&\sigma _{\text{d}} = 5\rightarrow & eeimg=&1&&戊；&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta+_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D+%3D+1%5Crightarrow+& alt=&\beta _{\text{d}} = 1\rightarrow & eeimg=&1&&子。故該日爲戊子日。&br&&/p&&h2&肆、干支紀時&/h2&&p&干支紀時中的時支流傳較爲廣泛，由23時至1時的子時始，每兩個小時爲一個時辰，地支也遞進一位。而地干由日干決定，類似於上文中月干由年干決定。甲日的子時爲甲子時，經過一天十二個時辰，由丙子時入次日。因此六十甲子五天即一輪回。因此，彼刻時辰爲&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&，則有&/p&&blockquote&&p&時干&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bt%7D%7D+%3D+%5Cleft%28+2%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D-1%2BT-1+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10%3D%5Cleft%28+2%5Csigma_%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D%2BT-2+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10& alt=&\sigma_{\text{t}} = \left( 2\sigma_{\text{d}}-1+T-1 \right) \text{mod} \ 10=\left( 2\sigma_{\text{d}}+T-2 \right) \text{mod} \ 10& eeimg=&1&&&br&&/p&&br&&p&時支&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta_%7B%5Ctext%7Bt%7D%7D+%3D+T& alt=&\beta_{\text{t}} = T& eeimg=&1&&&/p&&/blockquote&&p&【例】已知某日是己巳日，當日18時是何時？&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+6%5Ctimes+2+%2B10-2+%5Cright%29+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+10+%3D+0+%5Crightarrow+& alt=&\left( 6\times 2 +10-2 \right) \text{mod} \ 10 = 0 \rightarrow & eeimg=&1&&癸。故當日18時是癸酉時。&/p&&p&【註】時辰H從前一日23時計起，至當日23時止，左閉右開。譬如，甲子日的0時30分用甲子日第一時辰計算，而前一天癸亥日的23時30分同樣要用甲子日第一時辰計算，而非癸亥日，與甲子日0時30分同屬一個時辰，卻分屬不同的兩天。&/p&&h2&伍、逆推公制&/h2&&p&以上若干小節介紹了如何從公曆日期與廿四時制時間推出其干支表示，本節來看看在已知干支表示的情況下如何逆推其公曆與廿四時制表達。首先，從第一小節即可看出，干支表達是以六十爲週期循環往復的，因此脫離具體背景談逆推 (譬如「庚辰年是哪一年」) ，會得到很多解。&/p&&p&由干支表達逆推的基本原則是計算某個干支組合在六十甲子中的位置，爾後加以六十的整數倍，即透過通解求特解。而欲計算某個干支組合在六十甲子中的位置，則須運用「孫子剩餘定理」。簡而言之，某干支組合&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+%5Cbeta+& alt=&\sigma \beta & eeimg=&1&&在六十甲子中的次第&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega+& alt=&\Omega & eeimg=&1&&可以如下計算，&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5COmega+%3D%286%5Csigma+-5%5Cbeta+%29+%5C+%5Ctext%7Bmod%7D+%5C+60& alt=&\Omega =(6\sigma -5\beta ) \ \text{mod} \ 60& eeimg=&1&&&p&這樣一來，公曆表達便不難算出。譬如，試將壬辰年壬子月丙辰日壬辰時轉換爲前後距今最近的公曆表達。&/p&&p&【壬辰年】&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D+%3D9& alt=&\sigma _{\text{j}} =9& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta+_%7B%5Ctext%7Bj%7D%7D+%3D5& alt=&\beta _{\text{j}} =5& eeimg=&1&&，則&img src=&https://